Matrix A in Abhängigkeit von t - Bestimme den Rang.

Question

Aufgabe:

1) Gib eine Definition für den Rang an.

2) Bestimme den Rang von A in abhängigkeit von t.

\( A = \begin{pmatrix} 1 & t & t^2 \\ t & t & 1 \\ t^2 & 1 & t \\  \end{pmatrix}. \)

Ansatz/Problem:

Ich habe ein \(t\) aus der Matrix gezogen und dann alle \(1 = \frac{t}{t}\) gesetzt und A' erhalten.

\( \begin{aligned} A &=\left(\begin{array}{ccc}1 & t & t^{2} \\ t & t & 1 \\ t^{2} & 1 & t\end{array}\right) \quad | 1 = \frac{t}{t} \\ &=\left(\begin{array}{ccc}\frac{t}{t} & t & t^{2} \\ t & t & \frac{t}{t} \\ t^{2} & \frac{t}{t} & t\end{array}\right) \quad | t \text{ rausziehen} \\ &=t \cdot\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{t} & 1 & t \\ 1 & 1 & \frac{1}{t} \\ t & \frac{1}{t} & 1\end{array}\right) \end{aligned} \)

Und weiss nicht mehr wie ich weiter vorghen soll, ich soll ja Nullen erzeugen durch Gauss aber komme nicht auf eine Idee wie ich das machen soll.

Answer 1

t ist einfach ein Parameter; daher du darfst die Zeilen auch mit t multiplizieren, solange t≠0.

Damit sollte es dir gelingen , eine Zeilenstufenform herzustellen. In Abhängigkeit von t kannst du dann die Nullzeilen ablesen.

Nach zwei Gaußschritten erhalte ich

$$\begin{pmatrix} 1-t & 0&t^2-1 \\ t^2 & t^2&t\\0 & 1-t^2&0 \\ \end{pmatrix}$$

Für welche Werte von t gibt es besonders viele Nullen?

Comments

Vielen Dank auch dir ! 

Eben das sehe ich nicht, wie ich zum Beispiel Nullen ezeugen kann :-/

Ihh habe ja zuoberst eine\(1\) 

und unter ihr steht ein \(t\) und ein \(t^2\) zuunterst. 

damit ich in der zweiten Zeile ganz links eine Null erzeuge müsste ich \(t\) von \(t\) abziehen, aber das kann ich nirgendwo machen, weil mir kein t in dieser Spalte zur Verfügung steht.

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Im ersten Schritt habe ich I-II gerechnet. Dass gibt oben in der Mitte die erste Null.

 Dann habe ich II mit t multipliziert.

Danach noch III-II, dabei werden zwei Einträge unten zu 0, und ich erhalte obige Matrix.

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Gut, ich habs nachgerechnet und nachvollzogen. 

Was mir aber unklar bleibt ist:

(1) wieso du so angefangen hast, 

und

(2) ob es jetzt bereits fertig ist ? 

Anfangsabsicht:
Ich wollte Anfangs eine saubere ZSF hinbringen aber frage mich nun ob das überhaupt möglich ist.

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(1)Das war der erste Schritt der mir einfiel, um eine Null zu erzeugen. Es stehen ja noch keine nullen, daher kannst du beliebig anfangen. Du solltest bei einem Gaußschritt aber keine bereits bestehenden Nullen zerstören, daher mein zweiter Schritt.

(2) Um den Rang zu bestimmen reicht es. Um die ZSF zu erreichen müsstest du andere Umformungsschritte machen, siehe die Lösung von Mathef .

Answer 2

Für t=1 sind alle Spalten gleich, also ist dann rang = 1.

Dein Trick mit t/t geht nur für t≠0.

Und für t=0 hast du linear unabhängige Spalten, also rang=3.

Für t≠0 kannst du Gaussalgorithmus anwenden und bekommst

1       t         t^2 
0   t-t^2      1-t^3
0    1-t^2     t-t^3

Die sind lin. abhängig nur für t=1 (Fall s.o)

und t=-1 .  Dann ist also für t=1 der Rang = 1

und für t= -1 der Rang = 2

und ansonsten 3.

Comments

Super, vielen Dank ! 

Wie konntest du die Nullen erzeugen ?

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Für t=1 besteht die gegebene Matrix aus lauter Einsen.

Wenn du also von der 2. und der 3. Zeile jeweils die

erste abziehst, erhältst du 2 Nullzeilen.

Bei der Umformung der Matrix habe ich mich bei
der 3. Zeile vertan, hätte davon das t^2 - fach der ersten abziehen

müssen. Das gäbe dann

1       t         t2 
0   t-t^2      1-t^3
0    1-t^3     t-t^4

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letzte Frage: 

Was ist nun der Rang? 

Fall t = 0
1 0 0
0 0 1
0 1 0 
⇒ rg(A) = 3. 

Fall t = 1
1 1 2
0 0 0 
0 0 0 
⇒ rg(A) = 1.

Richtig ? 

Unterscheide ich also bei Matrizen in Abhängigkeit von t immer zwischen Fall t = 0 und t=1 ? 
Falls ja, was ist mit t = 2,3,4... ?  

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Nein, das hängt immer davon ab welche Terme sich bei der

Umformung nach Gauss ergeben.

Ich hatte ja gesagt:  Umformung geht nur für t≠0,

weil mit t multipliziert wird.

Also ist t=0 extra zu betrachten, da ist rang=3.

Ansonsten ergibt sich  eben ( siehe meine Korrektur)

1       t         t^2 
0    t-t^2      1-t^3
0    1-t^2     t-t^3

oder weiter umgeformt 
(3. Zeile minus zweite)

1       t                t2 
0     t*(1-t)          1-t3
0        1-t            1-t

Hier sieht man ja nun:

3. Zeile wird zur Nullzeile für t=1, die

zweite dann allerdings auch, also

ist hier rang=1.

Die 3. Zeile wird für keinen anderen Wert

zur Nullzeile und die erste auch nicht.

Also muss nur noch die zweite betrachtet

werden.   t=1 ist die einzige Möglichkeit,

dass hier eine Nullzeile entsteht.

Demnach ist rang=2 nie möglich und es bleibt

sonst immer bei rang=3.