Question

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U(x1,x2)=40⋅ln(x1)+75⋅ln(x2)

. Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1=2.5 und p2=2.5 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=270

. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Konsummöglichkeiten.
Wie hoch ist die Menge x1
in diesem Nutzenoptimum?

Lösung: 37.57

Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen...

Bitte mit Rechenweg (TI30XIIS)

Comments

Für Wolframalpha wäre das ja ein Einzeiler

https://www.wolframalpha.com/input/?i=max+40*ln%28x%29%2B75*ln%28y%29+with+2.5x%2B2.5y%3D270

In der Klausur dürft ihr keine eigene Formelsammlung benutzen oder?

Answer 1

Es muss gelten

I = x1 * p1 + x2 * p2

daraus folgt

x2 = (I - x1 * p1) / p2

U(x1,x2) = 40*ln(x1) + 75*ln( (I - x1 * p1) / p2 ) =
U(x1,x2) = 40*ln(x1) + 75*ln( (270 - 2.5 * x1 ) / 2.5 ) =
U(x1,x2) = 40*ln(x1) + 75*ln( 108 - x1)

U(x1,x2)/dx1 = 40/x1 - 75 / (108 - x1)
U(x1,x2)/dx1^2 = -40/x1^2 - 75 / (108 - x1)^2

Bedingung für Maximum

U(x1,x2)/dx1 = 0
U(x1,x2)/dx1^2 < 0

-> x1 ~ 37.5652

Answer 2

Aloha :)

Preis und Einkommen liefern folgende Randbedingung:

$$270=I=p_1x_1+p_2x_2=2,5x_1+2,5x_2=2,5(x_1+x_2)\;\;\Rightarrow\;\;\underline{x_1+x_2=108}$$Damit kannst du in der Nutzenfunktion eine Variable durch die andere ausdrücken:

$$U(x_1,x_2)=40\ln x_1+75\ln x_2=40\ln x_1+75\ln(108-x_1)=U(x_1)$$Die Ableitng davon muss 0 sein:

$$0\stackrel{!}{=}U'(x_1)=\frac{40}{x_1}+\frac{75}{108-x_1}\cdot(-1)=\frac{40\cdot108-40x_1-75x_1}{x_1(108-x_1)}=\frac{4320-115x_1}{x_1(108-x_1)}$$$$\Rightarrow\;\;115x_1=4320\;\;\Rightarrow\;\; x_1=\frac{4320}{115}\approx37,57$$