Gib eine ganzrationale Funktion an...

Question

Aufgabe:

a)Gib eine Ganzrationale Funktion mit Grad 2 an, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist und deren Graph durch den Punkt (3/2010) verläuft.

b)Zeichne den Graphen einer Funktion, die auf dem Intervall (0;2) die Änderungsrate zwei hat.

Gib zu dieser Funktion eine Funktionsgleichung an.

Problem/Ansatz:

Was ist der Grad?, Was ist die Änderungsrate? Ich bitte um eine einfache Erklärung.

Comments

Eine quadratische Funktion hat den Grad 2. Änderungsrate ist der Differenzenquotient.

Answer 1

Der Grad ist bei einer ganzrationalen Funktion der höchste Exponent, der bei x vorkommt.

Also hier die 2.

Wegen Symmetrie zur y-Achse bleibt nur  f(x) = ax^2 + b

Und der Punkt  (3/2010)  liefert     a*9 + b = 2010 ==>   b = 2010 - 9a .

Allgemein also   f(x) = ax^2 + 2010 - 9a

Du ´kannst also z.B  a =1 und b= 2001 wählen, dann hast du f(x) = x^2 + 2001

Kannst aber auch a=2 und b= 1992 nehmen oder so...

b) Wenn das mit a nichts zu tun hat, kannst du einfach  f(x) = 2x nehmen. Dann ist f(0)=0 und

f(2) = 4 . Die Änderungsrate auf dem Intervall ist immer  ( f(b) - f(a) ) / ( b-a )

wäre hier also    ( 4-0 ) / ( 2-0 ) = 2 wie gewünscht.

Wenn es allerdings eine von den Funktionen von a sein soll ist es etwas

aufwändiger:  f(0) = 2010 -9a   und f(2) = 4a + 2010 -9a = 2010 - 5a

Änd.rate   (   ( 2010-5a) - (2010-9a) ) / ( 2 - 0 )  = 2

<=>               4a = 2 also a= 1/2  und damit   f(x) = (1/2)x^2 - 4011/2.