Flächeninhalt von Dreieck maximieren, Eckpunkte auf Parabel

Question

Aufgabe:

:)
f(x)= x²/4
Eine Parallele y=t zur x-Achse schneidet die Parabel in den Punkten P1 und P2. Der Punkt P3 (0/6) bestimmt mit diesen Punkten ein gleichschenkliges Dreieck. Wie muss t gewählt werden, damit das Dreieck einen maximalen Flächeninhalt A hat.
Finde Online leider nichts.…

Problem/Ansatz:

Finde leider keinen Ansatz. Ausser die Stammfunktion habe ich gebildet. Weiß jedoch nicht was ich damit nun anfangen soll

Answer 1

Falls 0<t<6 ist, kannst du das so lösen:

Es ist eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung.

Sei x>0.

Da die Gerade die Parabel schneidet, gilt im Schnittpunkt f(x)=t.

Die Grundseite des  Dreiecks ist g=2x, die Höhe ist h=6-f(x)=6-0,25x².

Den Flächeninhalt berechnen wir mit A=0,5·g·h=6x-0,25x³

Zielfunktion: A(x)=6x-0,25x³

Von A(x) suchen wir das Maximum:

A'(x)=6-0,75x²=0

6=0,75x²

8=x²

x=√8≈2,8284

Das A(√8) der maximale Flächeninhalt ist, kannst du mit A''(x) nachweisen.

t=0.25x²=0.25·8=2

t=2

Answer 2

Man kann t beliebig groß wählen und bekommt ein unendlich großes Dreieck.

Ich vermute mal, dass du uns die Beschränkung t<6 unterschlagen hast.

Was willst du übrigens mit Stammfunktionen? Die Fläche eines Dreiecks berechnet man mit A=0,5 mal Grundseite mal Höhe.

Die Grundseite ist die Strecke zwischen beiden Schnittpunkten P1 und P2, die Höhe ist der Abstand von P3 zur Gerade y=t.

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Hier noch ein Bild dazu:

Answer 3

betrachte doch erst die Parabel, die ist gestaucht , positiv und geht durch den  Punkt (0|0), eine Parallele zu x-Achse wird im Punkt (0|6) gezogen, gesucht wird   ein gleichschenkliges Dreick mit max. Flächeninhalt , dafür sind die beiden Schnittpunkt zwischen Parallele und  Parabe berechnenl, dazu:

6 =x²/4     | *4

24=x²       | ±√

±4,898= x_1,2    

_{für das Dreieck : h = 6    Grundseite=| 4,898|+|-4,989|  = 9,797}

_{A= g*h/2     hier einsetzen  (29,3938)}

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Entschuldige bitte, aber dir sind da ein paar Fehler unterlaufen.

Answer 4

f(x) = 1/4·x^2

A = x·(6 - f(x)) = 6·x - 0.25·x^3

A' = 6 - 0.75·x^2 = 0 --> x = 2·√2 = 2.828427124

ACHTUNG: Die Antwort auf die Fragestellung ist nicht 2·√2. Was die richtige Antwort ist solltest du jetzt aber durch mitdenken herausbekommen.