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Zeigen, dass die 2 Mengen  U = {f∈V|f(x) = f(-x) für alle x∈R}, W = {g∈V|g(x) = -g(-x) für alle x∈R} Unterräume von V darstellen

V = Abb(ℝ,ℝ) und V ist der ℝ-Vektorraum aller Abbildungen ℝ → ℝ

Sind diese 2 Mengen Unterräume von V ?

        U = {f∈V|f(x) = f(-x) für alle x∈R}
        W = {g∈V|g(x) = -g(-x) für alle x∈R}

Zeigen sie außerdem U∩W ={0} und U+W=V
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Was meinst du mit dem 'plus' hier: U+W=V ?

Addition der beiden Mengen? Kann hier nicht die Vereinigungsmenge sein. Da wäre ja f(x) = x +1 gar nicht dabei. Man müsste, wenn schon, die Abbildungen aus U und W einzeln addieren dürfen.

U∩W ={0}

Hier müsstest du die '0-Abbildung' eigentlich noch definieren.

U= {f∈ℝΙf(x)= - f(x) für alle x∈ℝ}, V =ℝ

Ich vermute, du hast hier einen Vorzeichenfehler abgeschrieben. Ein einzelnes Minus in der Fragestellung führt auf eine sehr kleine Menge von Funktionen.

U= {f∈ℝΙf(x)=f-(x) für alle x∈ℝ}, V =ℝ

mensch klasse dass du das erkannt hast. jetzt müsste es stimmen. wie gehe ich vor?

LG

Ich sehe leider immer noch nur ein Minus. Versuch das nochmals.
da steht aber leider tatsächlich nur ein minus. angeblich ist es ein Unterraum ...

Das Minus an deiner korrigierten Stelle macht nun leider absolut keinen Sinn.

Ich nehme an, dass es sich um eine der Teilaufgaben von https://www.mathelounge.de/65831/zeige-die-mengen-f∈v-alle-x∈r-g∈v-fur-alle-x∈r-sind-unterraume

handelt.

Deine ursprüngliche Fragestellung ist ja.

U= {f∈ℝΙf(x)= - f(x) für alle x∈ℝ}, V =ℝ

Aus f(x) = - f(x) folgt

2f(x) = 0 

f(x) = 0 für alle x. Das ist nur eine Funktion.

Somit U= {f∈ℝΙf(x)=-f(x) für alle x∈ℝ} = U= {f∈ℝΙ f(x)=0) für alle x∈ℝ}, V =ℝ

Also ein Unterraum mit nur einem trivialen Element. Man kann 0 lange addieren oder mit einem Skalar multiplizieren. Da bleibt man bei f(x) für alle x Element R.

1 Antwort

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\(U\) ist die Menge aller Funktionen, deren Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist
und \(W\) ist die Menge aller Funktioenen, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung
ist.

1. \(U\) ist Unterrraum:

\(f,g\in U, \; c\in R\Rightarrow f(-x)=f(x), \; g(-x)=g(x)\),
also \((cf+g)(-x)=cf(-x)+g(-x)=cf(x)+g(x)=(cf+g)(x)\) für alle \(x\in R\).

2. \(W\) ist Unterraum:

\(f,g\in W, \; c\in R\Rightarrow f(-x)=-f(x), \; g(-x)=-g(x)\),
also \((cf+g)(-x)=cf(-x)+g(-x)=c(-f(x))+(-g(x))=-(cf+g)(x)\) für alle \(x\in R\).

3. \(U\cap W=\{0\}\):

\(f\in U\cap W\Rightarrow f(x)=f(-x)\wedge f(x)=-f(-x)\Rightarrow f(x)=-f(x)\Rightarrow f(x)=0\) für alle \(x\in R\).

4. \(U+W=V\):

Sei \(f\in V\). Definiere
\(g(x)=\frac{1}{2}(f(x)+f(-x))\) und \(h(x)=\frac{1}{2}(f(x)-f(-x))\).
Dann gilt \(g\in U\) und \(h \in W\) und \(f=g+h\).

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