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a) Sei (an) eine reelle Folge.
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage:

Ist (an) konvergent, so konvergiert (an − an+1) gegen 0.


b) Berechnen Sie lim sup an und lim inf an für


an = (2−n + (−1)n ) / (1 + 3−n)

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Teil A.

1. "⇒"

Die Folge (an) n∈N ist konvergent gegen einen Grenzwert a ∈ R, also gilt:

∀ε > 0 ∃ nε ∈ N ∀ n ≥ nε : |an − a| < ε

Definiere bn = (an − an+1) und zeige:

∀ε > 0 ∃n˜ε ∈ N ∀ n ≥ n˜ε : |bn − 0| < ε
Also suche zu jedem ε > 0 ein passendes n˜ε ∈ N, mit der Eigenschaft (a). Sei dazu ε > 0

beliebig, aber fix. Für alle n ≥ n˜ε := nε/2 gilt.

|bn − 0| = |an − an+1| = |an − a + a − an+1| < |an − a| + |a − an+1| < ε/2 + ε/2= ε


2. "⇐"

Die Folge (an − an+1) n∈N sei eine Nullfolge, also

∀ε > 0 ∃nε ∈ N ∀ n ≥ nε : |(an − an+1) − 0| < ε

Aber dann muss (an) n∈N keine konvergente Folge sein:

Sei dazu an =√n, für n ∈ N. Offensichtlich ist an =√n keine konvergente Folge. Jetzt
suche ein nε, so dass für alle n ≥ nε gilt:

|an+1 − an| = |√(n + 1) −√n| =√(n + 1) −√n ≤ ε

Nun multipliziere beide Seiten mit (√(n + 1) + √n) aus

(√(n + 1) −√n) (√(n + 1) + √n) =  (√(n + 1))2  − (√n)= n + 1 − n = 1 ≤  ε · (√(n + 1) + √n)

Also suche nε, sodass für alle n ≥ nε, gilt ε · (√(n + 1) + √n) ≥ 1 dazu schätze weiter ab

ε · (√(n + 1) + √n) ≥ ε2√n ≥ 1 ⇔ n ≥ (1/2ε)2

Aus der letzen Zeile folgt, dass wir nε := ( 1/2ε)2 wählen dürfen


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Die Terme \( 2^{-n} \) und \( 3^{-n} \) gehen gegen \( 0 \) für \( n \to \infty \)

Es bleibt also nur noch \( (-1)^n \) übrig. Und das hat zwei Grenzwerte, nämlich \( \pm 1 \).

Also ist $$ \liminf a_n = -1 $$ und $$ \limsup a_n = 1 $$

Avatar von 39 k

Hallo ullim,

möchtest du über

Und das hat zwei Grenzwerte,

nochmal in Ruhe nachdenken?

Nein.....................................

@Sofia99


Bitte ignoriere diesen fachlichen Unfall. Es gibt per Definition keine Zahlenfolge mit zwei Grenzwerten.

Ullim hat offensichtlich die Begriffe "Grenzwert" und "Häufungspunkt" verwechselt.

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