Ist diese Umformung einer Differentialgleichung korrekt?

Question

Habe folgendes Ausgangsproblem, möchte eine Ableitungsfunktion umformen:

f'(x)*f''(x)=(f(f'(x)))'

soweit so gut, wenn ich jetzt ein Beispiel durchrechne mit f(x)=2x^2, f'(x)=4x, f''(x)=4

linke Seite: 4x*4=16x

rechte Seite: (2*(4x)^2)'=64x, falsch

es muß folgendermaßen lauten: (4*(2x^2))'=16x

dies verstehe ich nicht, die letzte Gleichung ist doch (f'(f(x)))' und damit nicht gleich wie meine ganz oben stehende Gleichung, kann man mir dies bitte erklären

die Problematik rührt aus folgender Aufgabenstellung her:

https://www.mathelounge.de/648001/alternatives-berechnen-eines-integrals-konstanten-faktoren

Dankeschön für die Antworten! Bert Wichmann!

Answer 1

Hallo Bert,

Du hast die Kettenregel nicht ganz richtig angewendet. Korrekt wäre:$$f'(f'(x))\cdot f''(x)=(f(f'(x)))'$$und dann passt auch Dein Beispiel:$$f(x) = 2x^2, \quad f'(x) = 4x, \quad f''(x) = 4 \\ \text{links:} \quad 4\cdot (4x) \cdot 4 = 64x \\ \text{rechts:} \quad \left(2(4x)^2 \right)' = \left( 32 x^2\right)' = 64x$$

Comments

Verstehe ich nicht.....!

f'(f'(x)*f''(x)), was soll das ergeben, die Aufgabenstellung war doch f'(x)*f''(x),

(linke Seite)?

Bert Wichmann!

Hat wahrscheinlich keinen Zweck  mit mir.....!

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f'(f'(x))*f''(x), so muß es lauten, nicht wie ich weiter oben geschrieben habe

Was soll eine Funktion f(f(x)) ergeben?

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Was soll eine Funktion f(f(x)) ergeben?

Du wendest eine Funktion \(f(x)\) zweimal an. Einmal auf \(x\) und einmal auf das Ergebnis von \(f(x)\) - in Deinem Beispiel war \(f(x)=2x^2\) dann ist$$f(f(x)) = f(2x^2) = 2\cdot\left( 2x^2 \right)^2 = 8x^4$$

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Warum? Es hat keinen Zweck mehr, trotzdem Danke für die Antworten! Ich verstehe dies alles nicht mehr, Ihr Herren Mathematiker, Ihr werdet nicht wissen, wem ich mich alles habe beugen müssen.....! Bert Wichmann!

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Warum?

Warum nicht?

Hat wahrscheinlich keinen Zweck  mit mir.....!

Hmm! ... muss man sich selber nur oft genug einreden, dann stimmt's auch ;-)

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Ich muß mich entschuldigen, die von Ihnen angegebene Gleichung stimmt...…!