Kapitalwert einer Investition bei verschiedenen Zinssätzen

Question

Zwei Zahlenreihen sind  gegeben.
Alternative 1 (-50.000 ; +10.000; +20.000; +30.000 ; +40.000 €)
Alternative 2 (-50.000 ; +50.000; +30.000; +10.000; +5.000 €)

2.1 Welche ist günstiger bei einem Zins i. H. v. 9%?
2.2 Welche ist günstiger bei einem Zins i. H. v. 2,5%?
2.3 Zeichnen Sie die Ergebnisse aus 2.1 und 2.2 in eine Grafik und schätzen Sie anhand dieser wo die beiden Alternativen äquivalent sind. Belegen Sie Ihr Ergebnis danach rechnerisch

2.4. Was wäre wenn bei Investitionart 1 die einzahlung im 4. jahr wegfällt und die einzahlung im 3. jahr steigt? Wie hoch müsste einzahlung im 3. jahr sein damit die Kapitalwerte der beiden investitionen gleich bleiben?

2.1. habe ich berechnet. Investition II ist günstiger bei 9% und Investition I bei 2,5 %.

Ergebnis: C1 = 27.510,42 Euro bei 9% und C2 32.385,92 Euro

Ergebnis: C1 = 43,604,18 Euro bei 2,5 % und 41.150,67 Euro

2.2. Zeichnen. Hat soweit auch funktioniert. Irgendwo um die 4-5 % sind die Investitionen gleich. Rechnerisches Belegen:

Bin so vorgegangen, dass ich beide Gleichungen gegenüber gestellt habe und am Schluss als höchste Potenz (1+i)^3 hatte. Jetzt habe ich die Nullstellen berechnet und komme auf 1,0399... als positiven und -0.6449... als neg. Wert. Somit liegt der Zinssatz also bei 3,99 bzw. 4%

2.4. Hier finde ich nun leider keinen Ansatz mehr. Wie müsste ich hier denn vorgehen? Stehe etwas auf Kriegsfuß mit dem Verändern von Zahlenreihen.

Danke für's Helfen! :)

Answer 1

2.1 Welche ist günstiger bei einem Zins i. H. v. 9%?

C1: -50000 + 10000·1.09^{-1} + 20000·1.09^{-2} + 30000·1.09^{-3} + 40000·1.09^{-4} = 27510,42
C2: 32385,92

2.2 Welche ist günstiger bei einem Zins i. H. v. 2,5%?

C1: 42888,39
C2: 41150,67

2.3 Zeichnen Sie die Ergebnisse aus 2.1 und 2.2 in eine Grafik und schätzen Sie anhand dieser wo die beiden Alternativen äquivalent sind. Belegen Sie Ihr Ergebnis danach rechnerisch

Ich mache es mal nur rechnerisch Ich schreibe das mal in der einheit Tausend auf:

-50 + 10·x^{-1} + 20·x^{-2} + 30·x^{-3} + 40·x^{-4} = -50 + 50·x^{-1} + 30·x^{-2} + 10·x^{-3} + 5·x^{-4}
10·x^{-1} + 20·x^{-2} + 30·x^{-3} + 40·x^{-4} = 50·x^{-1} + 30·x^{-2} + 10·x^{-3} + 5·x^{-4}
10·x^3 + 20·x^2 + 30·x + 40 = 50·x^3 + 30·x^2 + 10·x + 5
40·x^3 + 10·x^2 - 20·x - 35 = 0
x = 1.039919130

Damit sind das etwa 3,99%

2.4. Was wäre wenn bei Investitionart 1 die einzahlung im 4. jahr wegfällt und die einzahlung im 3. jahr steigt? Wie hoch müsste einzahlung im 3. jahr sein damit die Kapitalwerte der beiden investitionen gleich bleiben?

Leider weiß man nicht mit welchem Zinssatz man hier rechnen soll. 2,5%, 4% oder 9%, denn die Gleichheit ist ja abhängig von dem Zinssatz. Ich mache das mal mit den gegegeben drei Zinssätzen und rechne gleich wieder in Tausend.

10·x^{-1} + 20·x^{-2} + 30·x^{-3} + 40·x^{-4} = 10·x^{-1} + 20·x^{-2} + (30+e)·x^{-3}
10·x^3 + 20·x^2 + 30·x + 40 = 10·x^3 + 20·x^2 + (30+e)·x

mit 2,5%

10·1.025^3 + 20·1.025^2 + 30·1.025 + 40 = 10·1.025^3 + 20·1.025^2 + (30 + e)·1.025
e = 39.02439024

mit 3,99%

10·1.0399^3 + 20·1.0399^2 + 30·1.0399 + 40 = 10·1.0399^3 + 20·1.0399^2 + (30 + e)·1.0399
e = 38.46523704

mit 9%

10·1.09^3 + 20·1.09^2 + 30·1.09 + 40 = 10·1.09^3 + 20·1.09^2 + (30 + e)·1.09
e = 36.69724770

Hier sehen wir auch das die Einzahlung vom Zinssatz abhängig ist.