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Aufgabe:

Sei n ∈ N fest.

(a) Es sei

\( Πn:= \{ p : R → R: p(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} · x^k, a \text{ von } k \in ℝ \} \)

die Menge aller Polynome, deren Grad höchstens n ist. Zeigen Sie, dass Πn mit den im Skript zu den
Polynomen definierten Verknüpfungen + und · (Beispiel (c)) ein Vektorraum ist.

Beispiel c =(F = {f : R → R : Abbildung} ist R–Vektorraum mit dim F = ∞.)

(b) Geben Sie eine Basis von Πn an und zeigen Sie, dass es sich bei der von Ihnen angegebenen Menge tatsächlich um eine Basis von Πn handelt.


Problem/Ansatz:

Bei der a verstehe ich nicht wie und was man zeigen muss um den Vektorraum zu zeigen. Und bei der b verstehe ich nicht was man machen muss um zu zeigen ob die Menge eine Basis ist.

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1 Antwort

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was man zeigen muss um den Vektorraum zu zeigen.

Die Vektorraumaxiome nachprüfen.

b)  um zu zeigen ob die Menge eine Basis ist.

Du kannst z.B. die Menge { 1 ; x ; x^2 ; ;...; x^n } nehmen.

Mit denen kannst du alle Polynome von Πn als Linearkombination darstellen

und lin. unabh. sind sie auch; denn wenn eine

Linearkombination den Nullvektor darstellt, müssen alle

a_{k}  gleich 0 sein.

Avatar von 287 k 🚀

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