Invertierbare Matrizen: (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} ist wahr oder falsch?

Question

Aufgabe:

Es seien A und B invertierbare m × m Matrizen. Dann gilt

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

Ist es wahr oder falsch?

Comments

Das ist wahr.

Matrizen bilden ein nicht kommutative Gruppe. Da gilt immer (a o b)^-1 = b^-1 o a^-1 

Answer 1

Aloha :)

Die Inverse Matrix zu \((AB)\) sei \(X\) und \(1\) sei die Einheitsmatrix, dann gilt:

$$\left.X\cdot(A\cdot B)=1\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.(X\cdot A)\cdot B=1\quad\right|\;\cdot B^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.((X\cdot A)\cdot B)\cdot B^{-1}=B^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.(X\cdot A)\cdot (B\cdot B^{-1})=B^{-1}\quad\right|\;(B\cdot B^{-1})=1$$$$\left.X\cdot A=B^{-1}\quad\right|\;\cdot A^{-1}\text{ von rechts}$$$$\left.(X\cdot A)\cdot A^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}$$$$\left.X\cdot (A\cdot A^{-1})=B^{-1}\cdot A^{-1}\quad\right|\;(A\cdot A^{-1})=1$$$$X=B^{-1}\cdot A^{-1}$$