Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge. Verwenden Sie nun die ε-Definition, um die Konvergenz der Folge zu beweisen.

Question

Aufgabe:

a) Sei \( \left(a_{n}\right) \) eine Folge, sei \( L \in \mathbb{R} . \) Wann gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=L ? \) Formulieren Sie die \( \varepsilon- \) Definition.

b) Bestimmen Sie zunächst den Grenzwert der Folge \( \left(a_{n}\right) \) mit \( a_{n}=\frac{3 n}{n+2} \) (geben Sie die Rechnung kurz an).

c) Verwenden Sie nun die \( \varepsilon \) -Definition, um die Konvergenz der Folge \( \left(a_{n}\right) \) aus dem vorigen Aufgabenteil zu beweisen.

Answer 1

Hallo,

Wie löse ich die aufgabe 3c)

den GW g=3 aus b) hast du ja wohl.

\(\color{blue}{\left|a_n-g\right|}=\left|\dfrac{3n}{n+2}-3\right|=\left|\dfrac{3n-3·(n+2)}{n+2}\right|=\left|\dfrac{-6}{n+2}\right|=\color{blue}{\dfrac{6}{n+2}}\)

Das  muss (mit einem zu ε passenden N_ε) für  n > N_ε  kleiner als jedes beliebige  ε ∈ ℝ⁺ werden:

6 / (n+2) <  ε  ⇔  6/ε - 2 < n  ,  wähle also   N_ε  >  6/ε - 2

Gruß Wolfgang