ganzrationale gerade Funktion f(x) gesucht

Question

Aufgabe:

Bedienung:
    - bei der erst die 5. Ableitung verschwindet
    - die bei x=2 eine Nullstelle hat
    - an der die Kurve die Steigung 96 hat
    - an einer Maximumstelle den Fkt.-Wert 48 besitzt

Problem/Ansatz:

Meine Überlegung: da es eine gerade Fkt. ist und sie bei der 5. Ableitung verschwindet handelt es sich, um eine Achsensymmetrie, also

f(x)=ax^4+bx^2+c

f'(x)=4ax^3+2bx

f''(x)=12ax^2+2b

f'''(x)=24ax

f⁴ (x))=24a

Nullstelle bei x=2 ⇒ f(2)=0 daraus folgt c=-40

Wie lassen sich die letzten beiden Bedienungen interpretieren ?

Answer 1

f(x)=ax⁴+bx²+c

f'(x)=4ax³+2bx

f''(x)=12ax²+2b

f'''(x)=24ax

f^iv (x)=24a

die bei x=2 eine Nullstelle hat: f(2)=0                          0=16a+4c+c
an der die Kurve die Steigung 96 hat: f '(2)=96          96=32a+4b
an einer Maximumstelle den Fkt.-Wert 48 besitzt:      f '(x_m)=0 und f(x_m)=48.   

Comments

Hallo Roland, vielen Dank für die Antwort.

Kannst du mir erklären wie man auf  f'(2)=96 kommt ?

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"- die bei x=2 eine Nullstelle hat, an der die Kurve die Steigung 96 hat"

Hallo zone,

Die Steigung ist doch die erste Ableitung, also "Steigung bei x=2" heißt "1. Ableitung für x=2 ist 96" bzw. f'(2)=96.

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Vielen Dank MontyPyton.

Sorry, für die vielen Fragen. x_m ermittelt man wie?

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Hallo "zone26",

das wäre Fall2 meiner Antwort ...

bzw. x_m=0

Answer 2

0=16a+4b+c → 0=16a+96-32a+c → -96=-16a+c → c=16a-96

96=32a+4b → b=24-8a

0=4ax_m^3+2bx_m = 2x_m·(2ax_m^2+b) → x_m=0

                               (oder 2ax_m^2+b=0 → b=-2ax_m^2)

48=ax_m^4+bx_m^2+c → c=48

                               (oder 48=-ax_m^4+c)

Fall1: c=48 → 48=16a-96 → 3=a-6 -->a=9

                   b=24-8a=24-72=-48

f(x)=9x⁴-48x²+48

Die Funktion erfüllt die Voraussetzungen.

Fall2 wären die Bedingungen, die in Klammern stehen.