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Aufgabe

Folgende Gesetzmäßigkeit wurde von Isaac Newton entdeckt. Bringt man einen Körper mit der Temperatur t in einen Raum mit der konstanten Temperatur t0, so ist die momentane Änderungsrate von t proportional zur Differenz der Raumtemperatur t0 und der Temperatur t des Körpers. (Sobald der Saft gefriert, gilt Newtons Gesetz nicht mehr)

1) Saft mit Temp 20 Grad wird bei -5 Grad Außentemperatur auf den Balkon gestellt. Nach 15 Minuten ist der Saft auf 5 Grad abgesunken. Stellen Sie eine Differentialgleichung für die Safttemperatur auf. Wann hat der Saft 0 Grad?

von

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Aloha :)

Die Änderung der Temperatur \(\Delta T\) mit der Zeit \(\Delta t\) ist also nach Newton:$$\frac{\Delta T}{\Delta t}=\alpha(T_0-T)$$Für \(\Delta t\to0\) erhalten wir daraus eine Differentialgleichung:$$\frac{dT}{dt}=\alpha(T_0-T)$$Weil \(T_0=\mbox{const}\) ist ist \(\frac{dT_0}{dt}=0\) und wir können die DGL etwas umschreiben:$$0-\frac{dT}{dt}=-\alpha(T_0-T)$$$$\frac{dT_0}{dt}-\frac{dT}{dt}=-\alpha(T_0-T)$$$$\frac{d(T_0-T)}{dt}=-\alpha(T_0-T)$$$$\frac{1}{T_0-T}\,d(T_0-T)=-\alpha\,dt$$Integration beider Seiten liefert:$$\ln|T_0-T|=-\alpha\,t+c_0\quad;\quad c_0=\mbox{const}$$$$T_0-T=e^{-\alpha\,t+c_0}=\underbrace{e^{c_0}}_{=:c_1}\cdot e^{-\alpha\,t}=c_1\,e^{-\alpha\,t}\quad;\quad c_1=\mbox{const}$$$$\underline{T=T_0-c_1\,e^{-\alpha\,t}}$$Der Aufgabenstellung entnehmen wir:$$T_0=-5$$ und halten das erstmal fest:$$T=-5-c_1\,e^{-\alpha\,t}$$Weiter folgt aus der Aufgabenstellung \(T(0)=20\):$$20=T(0)=-5-c_1\,e^{-\alpha\cdot0}=-5-c_1\quad\Rightarrow\quad c_1=-25$$Wir halten das fest:$$T=-5+25\,e^{-\alpha\,t}$$Schließlich wissen wir noch \(T(15)=5\). Das liefert uns \(\alpha\):$$5=T(15)=-5+25\,e^{-\alpha\cdot15}$$$$10=25\,e^{-\alpha\cdot15}$$$$\frac{10}{25}=e^{-\alpha\cdot15}$$$$\ln\left(\frac{10}{25}\right)=-\alpha\cdot15$$$$\alpha=-\frac{1}{15}\ln\left(\frac{10}{25}\right)\approx0,0611$$Der Abkühlvorgang wird daher beschrieben durch:$$\underline{T=-5+25\,e^{-0,0611\,t}}$$Nach welcher Zeit \(t\) sind wir bei \(T=0\) angekommen?$$T=-5+25\,e^{-0,0611\,t}\stackrel{!}{=}0$$$$25\,e^{-0,611\,t}=5$$$$e^{-0,611\,t}=\frac{1}{5}$$$$-0,611\,t=\ln(0,2)$$$$t=-\frac{\ln(0,2)}{0,0611}=26,34$$

von 26 k

Hallo

 da das ein Physikforum ist, wäre es schön, du würdest -wenigstens als Moderator-, Größen wie α mit Einheiten angeben, ebenso Zeiten.

Gruß lul

@Alle drei.

Aus welchen Gründen auch immer (Aufgabe aus dem Matheunterricht?) hat Janine diese Frage im Matheforum mathelounge gestellt. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Frage irgendwann in der nanolounge landet ist aber nicht ganz Null und dort sollte bei den Einheiten dann kein Chaos herrschen.

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Hallo

du weisst also dT/dt=k*(T-T0)

Lösung davon kannst du? sonst frag nach , wenn du die hast, setzt du für T 5° ein und für t 15Min und bestimmst daraus k

Gruß lul

von 33 k

Irgendwie verstehe ich das nicht.

1. Wo genau steigst du aus?

2. Hast du https://www.mathelounge.de/132731/gesetzmassigkeit-isaac-newton schon studiert?

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Hallo Janine,
hier eine etwas einfachere Antwort.
Skizze 1 zeigt dir den Temperaturverlauf wie im
Aufgabentext beschrieben.
Die Temperatur fällt von 20 ° nach -5 ° in einer
e-Funktion ab

( Zeit | Grad )
( 0 | 20 )
( 15 | 5 )
( ∞| -5 )



gm-125.jpg
Damit die Funktion besser zu handhaben ist verschiebe ich die Funktion
um 5 ° nach oben. Skizze 2.

( Zeit | Grad )
( 0 | 25 )
( 15 | 10 )
( ∞| 0 )

f ( x ) = a0 * e^(-k* t)
f ( 0 ) = a0 * e^(-k* 0) = 25
f ( 0 ) = a0 * e^(0) = 25
f ( 0 ) = a0 * 1 = 25  => a = 25

f ( x ) = 25 * e^(-k* t)
 f ( 15 ) = 25 * e^(-k*15) = 10
k = 0.0611

f ( x ) = 25 * e^(-0.0611* t)

Als letztes verschiebe ich die Kurve wieder um 5 Grad nach unten
f ( x ) = 25 * e^(-0.0611* t)  - 5

von 95 k 🚀

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