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Problem/Ansatz: Ich verstehe nicht was mit dieser Formel gemeint ist. Ich bräuchte unbedingt einen Anhaltspunkt für diese zwei Aufgaben. Ich checke irgendwie nicht was es mit dieser Aufgabenstellung bei b und c auf sich hat (siehe Foto).(Die vorherige Aufgabe a) hatte keinen Zusammenhang mit b) und c), fall ihr euch fragt warum es mit b) anfängt....)

b) Zeigen Sie:

\( \int x^{n} e^{x}+n x^{n-1} e^{x} d x=x^{n} e^{x}+c \)

c) Aus der Teilaufgabe b) folgt

\( \int x^{n} e^{x} d x=x^{n} e^{x}-n \int x^{n-1} e^{x} d x \)

Wenden sie diese Formel an, um damit

\( \int \limits_{1}^{2} x^{2} e^{x} d x \)

zu berechnen.

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Aloha :)

In der (b) sollst du zeigen, dass das Integral links die angegebene Stammfunktion rechts hat. Da Differenzieren in der Regel einfacher ist als Integrieren, leiten wir einfach die Stammfunktion ab und prüfen, ob der Integrand rauskommt:$$(\underbrace{x^n}_{=u}\,\underbrace{e^x}_{=v}+C)'=\underbrace{nx^{n-1}}_{=u'}\,\underbrace{e^x}_{=v}+\underbrace{x^n}_{=u}\,\underbrace{e^x}_{=v'}\quad\checkmark$$Die rechte Seite unserer Rechnung ist exakt der Term, der unter dem Integral steht. Damit ist diese Regel gezeigt.

In der (c) sollst du die Formel aus (b) nun nutzen. Wir bauen sie dazu etwas um. Die Konstante \(C\) lasse ich dabei weg:$$\int\left(x^ne^n+nx^{n-1}e^x\right)dx=x^ne^x$$$$\int x^ne^n\,dx+\int nx^{n-1}e^x\,dx=x^ne^x$$$$\int x^ne^n\,dx=x^ne^x-\int nx^{n-1}e^x\,dx$$Nun wenden wir das für den Fall \(n=2\) an:

$$\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int2x e^x\,dx=x^2e^x-2\underline{\int x e^x\,dx}$$Für das unterstrichene Integral können wir die Regel aus (b) mit \(n=1\) erneut anweden:$$\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x$$Jetzt bauen wir alles zusammen:$$\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\left(xe^x-e^x\right)=e^x\left(x^2-2x+2\right)+C$$Beache, dass ich auch brav die Konstante \(C\) wieder im Ergebnis habe ;) Jetzt nur noch die Grenzen einsetzen:$$\int\limits_1^2 x^2e^x\,dx=\left[e^x\left(x^2-2x+2\right)\right]_1^2=2e^2-e\approx12,06$$

Avatar von 148 k 🚀

WOW ich glaube ich hätte das auch nach Stunden nicht gecheckt, Vielen Dank für die super Erklärung! Ich verstehe es nun echt gut!

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