Werte (x) für die Logarithmusgleichung : (1/ln(x))+ln(1/x)=e^x

Question

Aufgabe:

Lösung für x für die Gleichung : (1/lnx)+ln(1/x)=e^x

für die genannte Gleichung wird die Lösung für x gesucht. Via Wolfram Alpha zeigen sich 2 Lösungen... aber dort warum auch immer kein Lösungsweg. Ich wollte fragen ob es hier einen rechnerischen Lösungsweg gibt.

Vielen dank im Voraus!

Answer 1

Hallo, 

dazu kannst du ein Näherungsverfahren für die Nullstellen von f(x) = 1/ln(x) + ln(1/x) - e^x  benutzen, z.B. das

Newtonverfahren:         [ f '(x) = - e^x - 1/(x·LN(x)²) - 1/x ]
Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel
\(x_{neu}=x_{alt}-\dfrac{f(x_{alt})}{f'(x_{alt})}\)                              
Infos dazu findest du hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

mit den Startwerten x = 0,5   bzw.  x =.1,5   ergibt sich z.B.:

Gruß Wolfgang

Answer 2

Solche Gleichungen sind analytisch/algebraisch nicht lösbar, weil x als Exponent und Argument zugleich

auftritt.

Comments

.... nicht lösbar ... weil x als Exponent und Argument zugleich auftritt.

Das ist nicht immer der Fall.

---

Denkst du an die Lambert-Funktion in gewissen Fällen oder was

schwebt dir sonst vor? :)

---

z.B. das Nullprodukt  sin(x) · e^x = 0

---

Das ist natürlich klar, aber eher banal.

Wie wärs mit sin(x)-e^x= 0  oder 2^x-log(x)= 0 o.ä. ? :)

---

... aber eher banal

eine Antwort, die aus einem Satz besteht, sollte wohl ausnahmslos zutreffen. Fragesteller könnten die Behauptung ja tatsächlich glauben :-)