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Aufgabe

Führen Sie (aussagenlogische) Herleitungen zu folgenden deduktiv gültigen Schlüssen durch. Verwenden Sie dabei nur Schlussregeln, die im Kalkül des natürlichen Schließens ver- wendet werden. Sie dürfeb dabei (aussagenlogische) Grundschlussregeln, Metaregeln und abgeleitete Schlussregeln verwenden. Vergessen Sie nicht, auch die Rechfertigung bzw. die verwendeten Regeln und jeweiligen Zeilenangaben anzugeben.

1. (p→q)∧(p→¬q)⊢¬p
2. q→(p→r)⊢p∧q→r
3. ¬(p∨r)⊢p∨q→q
4. (s∧(p∧q)→p∧r)∧(¬(¬p∨¬q)→s)⊢¬(p∧q)∨r

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Was bedeutet das Symbol "⊢"?


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Du hast es wahrscheinlich schon gefunden, nichts desto trotz

bei dem
A ⊢ B
 soviel bedeutet wie: aus A ist B ableitbar.

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Seien \(p\) und \(q\) Aussagen, so dass

(1)        \(\left(p\rightarrow q\right)\wedge\left(p\rightarrow\neg q\right)\)

gilt. Laut Definition von \(\wedge\) gilt dann sowohl

(2)        \(p\rightarrow q\)

als auch

(3)        \(p\rightarrow\neg q\text{.}\)

Angenommen es gilt auch

(4)        \(p\text{.}\)

Wegen (2) und (4) gilt laut Defnition von \(\rightarrow\) auch

(5)        \(q\text{.}\)

Wegen (3) und (4) gilt laut Defnition von \(\rightarrow\) auch

(6)        \(\neg q\text{.}\)

Wegen (5) und (6) gilt

(7)        \(q\wedge\neg q\text{.}\)

Aussage (7) ist ein Widerspruch. Also gilt die Negation der Annahme
(4). Somit gilt

(8)        \(\neg p\text{.}\)

Und hier das gleiche noch etwas formaler:

Zeile
Annahmen
Aussage
Regel
Argumente
11
\(\left(p\rightarrow q\right)\wedge\left(p\rightarrow\neg q\right)\)
Annahme

21
\(\left(p\rightarrow q\right)\)
\(\wedge B\)
1
31
\(\left(p\rightarrow\neg q\right)\)
\(\wedge B\)
1
44
\(p\)
Annahme

51,4
\(q\)
\(\rightarrow B\)
2,4
61,4
\(\neg q\)
\(\rightarrow B\)
3,4
71,4
\(p\wedge \neg q\)
\(\wedge E\)
5,6
81
\(\neg p\)
\(\neg E\)
4,7
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