Wurzelausdruck vereinfachen. √9 ³√(1/18). Welche Wurzelgesetze wurden verwendet?

Question

$$ \sqrt { 9 \sqrt [3] { \frac { 1 } { 18 } } } = \sqrt [ 6 ] { \frac { 9 ^ { 3 } } { 18 } } = \sqrt [ 6 ] { \frac { 3 ^ { 6 } } { 18 } } = \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 } { \sqrt [ 6 ] { 18 } } } \\ { \sqrt [6] { \frac { 3 ^ { 4 } } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt [ 6 ] { 2 ^ { 5 } \times 3 ^ { 4 } } } \end{array} \right. $$

Leider verstehe ich nicht, was hier passiert ist. Welche Regeln werden hier angewendet ?

Ich würde mich über einen genauen Lösungsweg freuen.

Answer 1

Am besten man schreibt die Wurzel als Potenzen.

$$ \sqrt { 9 \sqrt [ 3 ] { \frac { 1 } { 18 } } } = \left( 9 \left( \frac { 1 } { 18 } \right) ^ { 1 / 3 } \right) ^ { 1 / 2 } $$

nun noch  die Faktoren zerlegen

9=3² und 18 ist 2*3²  mit den  gebrochnen Potenzen multipliziern

3^2/3 / 2^1/6

Answer 2

In deiner Aufgaben stehen von links nach rechts resp. oben nach unten 6 Ausdrücke, die ich von 1 bis 6 durchnummeriere

von 1 nach 2

9 ist auch die dritte Wurzel aus 9³

deshalb kann 9³ als Faktor unter die 3- Wurzel genommen werden. 

Weil's 9³ Eintel sind ist 9³ über dem Bruchstrich.

Die 2. Wurzel aus der 3. Wurzel ist die 6. Wurzel. (Man rechnet 2*3)

von 2 nach 3

9 ist 3² . 9³ = (3²)³ = 3⁶                 Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

von 3 nach 4

Bei einer Division darf man die Wurzel aus Dividend und Divisor separat ziehen.

6. Wurzel aus 3⁶  ist 3.

von 3 nach 5

Der Bruch unter der Wurzel wir mit 9  gekürzt.

Oben: 3⁶ = 3⁴ 3²             | verwendet:  6 = 4+2

= 3⁴ 9    

Unten              18 = 2*9

von 5 nach 6

Bruch wird so erweitert, dass im Nenner 2⁶ steht.

Dazu oben und unten mal 2^5.

Jetzt steht oben 3*2⁵ und unten 2⁶

Dann:

Wurzel aus Zähler und Nenner separat ziehen.

Oben: diese 6. Wurzel. Unten: 6. Wurzel aus 2⁶ also 2.

Zum Schluss wird 1/2 als Faktor vor die Wurzel geschrieben.

Das ist wie wenn du aus dem Bruch  (5km)/2 . 1/2 * 5 km machst. In diesem Fall würdest du dann noch auf 2.5 km vereinfachen.

Als Resultate (4 und 6) gelten hier offenbar Terme, die nur noch ein Wurzelzeichen enthalten.

Normalerweise will man, dass die Wurzel am Schluss im Zähler ist, wenn man sie nicht ganz wegbringt.

Anmerkung: Wie Akelei schon geschrieben hat, ist das Rechnen mit Wurzelgesetzen eigentlich unnötig. Man kann einfach gebrochene Exponenten schreiben und dann die bekannten Potenzgesetze anwenden.