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Sei \( P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\sum \limits_{1 \leq i \leq j \leq n} \alpha_{i, j} x_{i} x_{j} \) mit Koeffizienten \( \alpha_{i, j} \in \mathbb{R} \)

a) Zeigen Sie, dass es eine symmetrische Bilinearform \( s: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \) gibt, sodass \( s(\vec{x}, \vec{x})=P(\vec{x}) \)

b) Sei \( A \) die zu \( P \) gehörige Matrix. Zeigen Sie, dass die Menge \( \left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{n} |\right. \) \( P(\vec{x})=0\} \) mehr als einen Vektor enthält, genau dann wenn \( A \) nicht nur positive oder nicht nur negative Eigenwerte hat. Sie können verwenden, dass die Matrix A diagonalisierbar ist.

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Diese Art von Fragen ist hier nicht sonderlich häufig fertig beantwortet. Bsp. für eine "offene Frage": https://www.mathelounge.de/544753/man-uberprufe-dass-beta-eine-symmetrische-billinearform-ist

Vielleicht kannst du bei den andern "ähnlichen Fragen" helfen, nachhaken oder sogar deine Frage schon beantwortet finden.

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