Aloha :)
Forme die Funktionsgleichung etwas um$$f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x=\frac{1}{3}x\left(x^2-9\right)=\frac{1}{3}x(x-3)(x+3)$$und lese die Nullstellen ab: \(x_1=-3\;;\;x_2=0\;;\;x_3=3\).
Der Graph verläuft oberhalb der \(x\)-Achse, wenn \(f(x)>0\) ist:
$$x\in\;]-\infty|-3]\quad\Rightarrow\quad f(x)=\frac{1}{3}\underbrace{x}_{<0}\underbrace{(x-3)}_{<0}\underbrace{(x+3)}_{\le0}\le0$$$$x\in\;]-3|0[\qquad\quad\Rightarrow\quad f(x)=\frac{1}{3}\underbrace{x}_{<0}\underbrace{(x-3)}_{<0}\underbrace{(x+3)}_{>0}>0$$$$x\in\;[0|3]\;\;\,\qquad\quad\Rightarrow\quad f(x)=\frac{1}{3}\underbrace{x}_{\ge0}\underbrace{(x-3)}_{\le0}\underbrace{(x+3)}_{\ge0}\le0$$$$x\in\;]3|\infty[\;\;\;\qquad\quad\Rightarrow\quad f(x)=\frac{1}{3}\underbrace{x}_{>0}\underbrace{(x-3)}_{>0}\underbrace{(x+3)}_{>0}>0$$Oberhalb der \(x\)-Achse verläuft die Funktion für \(-3<x<0\) und für \(x>3\).
~plot~ 1/3*x^3-3x ~plot~
