Sei (xn) konvergente Folge mit Grenzwert x. Beweise, dass die Folge ihrer arithmetischen Mittel auch gegen x konvergiert

Question

(a) Es sei (x_n) eine konvergente Folge in R mit Grenzwert x. Beweisen Sie, dass die Folge ihrer arithmetischen Mittel auch gegen x konvergiert, das heißt

 .

Hinweis: Es sei N ∈ N. Beweisen Sie zunächst die Ungleichung

.

Nutzen Sie nun die Konvergenz von (x_n) gegen x und wählen Sie N so groß, dass der zweite Summand auf der rechten Seite unabhängig von n klein wird. Danach wird der erste Summand auf der rechten Seite klein, wenn nur n groß genug ist. Geben Sie die Details!

(b) Geben Sie eine divergente Folge (xn) an, mit
 .

Könnte mir bei dieser Aufgabe jemand behilflich sein. Vorallem bei dem ersten Teile steige ich trotz Hinweis nicht ganz durch.

Comments

Vgl.https://www.mathelounge.de/403253/grenzwert-arithmetischer-mittel-einer-folge

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Ähnlicher Frage, die schon oft vorhanden ist, teilweise mit anderen Buchstaben:

Titel: Konvergenz des arithmetischen Mittels

Stichworte: folge,konvergenz,arithmetische,mittel

Aufgabe:

Sei \( a_{n} \) eine komplexe Folge. Wir betrachten die Folge ihrer arithmetischen Mittel
$$ x_{n}:=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} $$
(a) Zeigen Sie: Falls \( \left(a_{n}\right) \) eine Nullfolge ist, so ist auch \( \left(x_{n}\right) \) eine Nullfolge.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst \( x_{n}-\frac{N}{n} x_{N}=\frac{1}{n}\left(a_{N+1}+\cdots+a_{n}\right) \) für \( N \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq N \) Wählen Sie anschließend ein festes \( N \in \mathbb{N}, \) so dass \( \left|x_{n}-\frac{N}{n} x_{N}\right| \) hinreichend klein wird. Beweisen und nutzen Sie dann \( \left|x_{n}\right| \leq \frac{N}{n}\left|x_{N}\right|+\left|x_{n}-\frac{N}{n} x_{N}\right| \)
(b) Geben Sie eine divergente Folge \( \left(a_{n}\right) \) für deren arithmetische Mittel gilt
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}}{n}=0 $$

 Ich weiß leider nicht, wie ich an die Aufgabe herangehen muss und aus dem Hinweis werde ich auch nicht besonders schlau. 

Und was bedeutet denn überhaupt divergent und konvergent?

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Und was bedeutet denn überhaupt divergent und konvergent?

Ich empfehle für das Grundverständnis einfach mal deine Matheunterlagen zu befragen. Wenn du das dort nicht findest hilft Google sicher weiter.

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Da ich leider die letzten zwei Wochen krank war und auch noch viele andere Aufgaben zu erledigen  habe, war es mir zeitlich noch nicht möglich den ganzen Stoff nachzuholen.

Außerdem benötige ich mehr Hilfe für die Aufgabe, als für mein "Grundverständnis", aber Danke.

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Außerdem benötige ich mehr Hilfe für die Aufgabe, als für mein "Grundverständnis", aber Danke.

Nicht dein Ernst?! Ohne Grundverständnis der Begriffe, die in der Aufgabe abgefragt werden, kannst du es knicken die Aufgabe zu lösen lösen oder eine dir auf dem Präsentierteller servierte Lösung verstehen. Willst du tatsächlich wissen, wie die Lösung der Aufgabe funktioniert oder willst du einfach nur etwas abschreiben um nicht 0 Punkte zu bekommen? Falls es das erste ist, schau dir erstmal die Begriffe an und dann kannst du ne Frage stellen.

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https://www.mathelounge.de/403253/grenzwert-arithmetischer-mittel-einer-folge

und die vielen andern "Duplikate" dieser Frage beachten. Da bringst du doch bestimmt etwas hin.

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Vielen Dank @Lu für deine Hilfe, das hat mir sehr weitergeholfen :)

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Bitte. Gern geschehen.

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Vom Duplikat:

Titel: Beweise die Konvergenz der Folge der arithmetischen Mittel

Stichworte: folge,arithmetisches,mittel

Hallo Leute, ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Es konvergiere die reelle Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{\geq 1}} \) gegen \( a \). Dann bildet man die Folge der arithmetischen Mittel ( \( b_{n} \) ) nefin mittels \[ b_{n}=\frac{1}{n} \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \quad \text { für } n \in \mathbb{N}_{\geq 1} \]

a) Zeigen Sie, dass die Folge der arithmetischen Mittel (bn)n∈ℕ≥1 gegen a konvergiert.

b) Zeigen Sie, dass die Folge der arithmetischen Mittel (bn)n∈ℕ≥1 eine Cauchyfolge ist (dabei dürfen Sie Proposition 5.82 nicht verwenden.)

Answer 1

a) Wir zeigen zuerst den Hinweis, sei hierzu \(N \in \mathbb N \), dann mit der Dreiecksungleichung gilt
\( |\sum_{k=1}^n x_k -x  | \leq \sum_{k=1}^n|x_k -x| \)
Ist \( N\leq n \)
Dann spalten wir die Summe in die ersten  \( N \) Summanden und \( n-N\) restlichen auf:
\(...=\sum_{k=1}^N|x_k -x| + \sum_{k=N+1}^n|x_k -x| \) 
Ist nun \( N>n\), dann ist jedenfalls 
\(|\sum_{k=1}^n x_k -x  | \leq \sum_{k=1}^N|x_k -x| + 0 \)
Multiplikation der beiden Seiten mit 1/n zeigt den Hinweis.

Sei \( \epsilon > 0\), da \(x_n \) konvergent ist \( \exists N_1\in \mathbb N:\forall k \geq N_1:|x_k-x|< \epsilon/2 \).
Setze \(C:=\sum_{k=1}^{N_1} |x_k -x|\in \mathbb R \). Dann gilt mit den Hinweis für alle
\( n \geq \max\{N_1,\lceil C 2/\epsilon\rceil\}\):
\( | \frac{1}{n }\sum_{k=1}^n x_k -x  |\leq \frac{1}{n }C+ \frac{1}{n }\underbrace{\sum_{k=N_1+1}^n|x_k -x|}_{<n \epsilon/2} \leq \underbrace{\frac{1}{n }C}_{\leq\epsilon/2} + \epsilon/2< \epsilon \)
Die Zahl \( \lceil C 2/\epsilon\rceil \) sorgt dafür dass der Term \( \frac{1}{n }C \) beliebig klein wird. 

b) \(x_n:=(-1)^{n+1}\)