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Aufgabe:

Überprüfen sie die Relationen \( \varrho \subseteq N_{0} \times N_{0} \) auf Reflexivitit (bzgl. \( N_0 \)), Symmetrie und Transitivität.

(i) \( \varrho=\left\{(m, n) \in N_0 \times N_0 | m+n=2\right\} \)
(ii) \( \varrho = \{ (m, n) \in N_0 \times N_0 | \text { m und n sind durch 5 teilbar} \} \)
(iii) \( \varrho=\left\{(m, n) \in N_0 \times N_0 | \text { m=n oder }(m, n)=(2,3)\right\} \)

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Titel: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität von Relationen. Teilbar durch 5 und 'oder'.

Stichworte: relation,eigenschaften,teilbarkeit,symmetrie

1. R = {(m, n) ∈ ℕ ∪ {0} x ℕ ∪ {0} | m und n sind durch 5 teilbar}

2. R = {(m, n) ∈ ℕ ∪ {0} x ℕ ∪ {0} | m = n oder (m, n) = (2, 3)}

Bräuchte etwas Hilfe. Zur 1:

Reflexivität: R ist reflexiv, weil 5x = m, 5y = m. Dann ist 5x = 5y => x = y.

Symmetrie: Hier weiß ich nicht, wie ich einen Beweis führen kann. Wenn man die Elemente von R mal aufschreibt, dann fällt einem schnell auf, dass R wohl symmetrisch ist, z.B. sind (0,0), (5, 0), (0, 5), (10, 0), (0, 10) etc in R.

Transitivität: Da bin ich auch überfragt.

Zur 2: Da stört mich das "oder" in der Relationseigenschaft. Aus welchen Elementen besteht diese Relation überhaupt?

1 Antwort

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(a) nicht reflexiv.

3+3 = 6 ≠ 2 Daher (3,3) ∉ R

symmetrisch. (m,n) in R gdw (n,m) in R

Wenn m+n = 2, dann auch n + m = 2.

nicht transitiv. (0,2) und (2,0) in R aber (0,0) nicht in R.

0+2 = 2 und 2+0 = 2 aber 0+0 ≠ 2.


(b) und (c)

1. R = {(m, n) ∈ ℕ ∪ {0} x ℕ ∪ {0} | m und n sind durch 5 teilbar}

2. R = {(m, n) ∈ ℕ ∪ {0} x ℕ ∪ {0} | m = n oder (m, n) = (2, 3)}

Reflexivität: R ist nicht reflexiv, weil (1,1) nicht in R. 1 und 1 sind nicht durch 5 teilbar. 1 steht somit nicht in Relation zu 1.

Symmetrie. richtig.

Hier weiß ich nicht, wie ich einen Beweis führen kann. Wenn man die Elemente von R mal aufschreibt, dann fällt einem schnell auf, dass R wohl symmetrisch ist, z.B. sind (0,0), (5, 0), (0, 5), (10, 0), (0, 10) etc in R.

Begründung: Wenn m und n durch 5 teilbar sind, dann sind auch n und m durch 5 teilbar.

m = 5k und n = 5p ⇔ n = 5p und m = 5k

Transitivität: Wenn m und n durch 5 teilbar sind, und zudem n und k durch 5 teilbar sind, dann sind auch m und k durch 5 teilbar.

m = 5q und n = 5p, und n=5p und k=5r → m=5q und k = 5r

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2. ist reflexiv. (Diagonale ist dabei)

Zur 2: Da stört mich das "oder" in der Relationseigenschaft. Aus welchen Elementen besteht diese Relation überhaupt?

nicht symmetrisch weil (2,3) in R aber (3,2) nicht in R.

Transitivität kann Neues bringen, wenn man 'anhängen' kann. Daher ist nur 2 und 3 zu prüfen.

(2,2) und (2,3)  ===> (2,3) in R ok.

(2,3) und (3,3) ====> (2,3) in R ok.

Somit ist R transitiv.
Ich verstehe nicht, wieso die zweite Relation jatzt Transitiv und Reflexiv ist, könntest du mir dass vielleicht Nochmal ausführlicher erklären

Ausführlicher als oben geht das fast nicht. Ich ergänze mal ein wenig Farbe. Du musst hier stur die definierenden Eigenschaften prüfen.

2. R = {(m, n) ∈ ℕ ∪ {0} x ℕ ∪ {0} | m = n oder (m, n) = (2, 3)} 

2. ist reflexiv. 

Jedes Element k von Nu{0} steht zu sich selbst in Relation, da k=k, ist (k,k) Element R

Das ist gemeint mit (Diagonale ist dabei) Handelt sich um die 45° steigende Diagonale y=x im Koordinatensystem, resp. deren Gitterpunkte.

Zusätzlich zu dieser Diagonalen ist da nur noch ein Gitterpunkt (2,3) in R.

nicht symmetrisch (bezüglich Spiegelung an y=x weil (2,3) in R aber (3,2) nicht in R.

Transitivität kann Neues bringen, wenn man 'anhängen' kann. Daher ist nur 2 und 3 zu prüfen.

(2,2) und (2,3)  ===> (2,3) in R ok.

(2,3) und (3,3) ====> (2,3) in R ok.

Somit ist R transitiv

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