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Zeigen Sie: Ist I ein kompaktes Intervall und f : I -> IR stetig mit I c f (I), so gibt es ein x € I mit f (x) = x.
(Tipp: Betrachten Sie g(x) := f (x) - x).

 

Wäre super, wenn mir jemand die Aufgabe vorrechnen könnte. :)
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Bild Mathematik


Wie kann ich die Aufgaben lösen, kann einer mir da helfen bitte

dank!!

1 Antwort

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Beste Antwort

Es muss vermutlich heißen  f(I) ⊂ I.

Es sei  I = [a,b] ⊂ ℝ  mit a < b. Wegen  f(I) ⊂ I  gilt

a < f(a)  und  f(b) < b.

Sei  g(x) := f(x) - x.

Es folgt

0 < f(a) - a = g(a)  und  0 > f(b) - b = g(b).

Daher gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein  c ∈ I  mit

g(c) = 0.

D.h.  f(c) - c = 0, also  f(c) = c.

 

Beantwortet von
hm könntest du dieses "Wegen f(I) c I" genauer erläutern? Ist es nicht wenn überhaupt genau andersrum und zwar dass wenn f(I) c I, dann ist a>f(a) einfach nur weil f(a)  eine teilmenge von I ist, und hat somit entweder gleich oder weniger elemente?
a ist das kleinste element in I, da f(I) weniger oder gleich viele elemente hat, ist a<=f(a)
ahsooo, danke für die schnelle antwort :)
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