Aloha :)
Zur Eigenwert-Berechnung benötigst du das charakteristische Polynom. Dieses erhältst du, indem du die entsprechende Determinante berechnest. Du kannst also unbesorgt solche elementaren Operationen ausführen, die den Wert der Determinante ungeändert lassen. Das heißt:
(1) Du kannst ein Vielfaches einer Zeile / Spalte zu einer anderen Zeile / Spalte addieren oder subtrahieren.
Wenn du eine Zeile oder Spalte mit einer Konstanten \(a\) multiplizierst, änderst du dadurch den Wert der ganzen Determinante um den Faktor \(a\). Daher musst du das entsprechend korrigieren.
(2) Wird eine Zeile / Spalte mit einer Konstanten \(a\) multipliziert, muss vor die Determinate der Faktor \(\frac{1}{a}\) geschrieben werden, damit ihr Wert ungeändert bleibt.
Du darfst auch 2 Zeieln / Spalten vertauschen, musst aber dann darauf achten, dass dadurch die Determinante ihr Vorzeichen ändert. Das heißt:
(3) Beim Vertauschen von 2 Zeilen / Spalten, muss das Vorzeichen der Determinante gewechselt werden, damit ihr Wert ungeändert bleibt.
Mit diesen 3 Regeln kannst du tatsächlich die Berechnung von großen Determinanten erheblich vereinfachen. Es reicht, die Determinante auf Dreieckform zu bringen (obere oder untere), dann ist die Determinante gleich dem Produkt der Hauptdiagonal-Elemente.
