Ordinaten- und Abszissenschnittpunkte und Koordinaten der waagrechten und senkrechten Tangente sind gesucht

Question

Von folgender Funktion sind die Ordinaten- und Abszissenschnittpunkte sowie die Koordinaten der waagrechten und senkrechten Tangente gesucht.

$$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + a · x = a \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $$

Mein Ansatz:

Ordinatenschnittpunkte:

x=0 setzen

y^2=a*y  →  y = a

Abszissenschnittpunkte:

y=0 setzen

x^2+a*x=a*x  →  x = 0

Waagrechte Tangente:

$$ \frac { \delta f } { d x } = 0 $$

Senkrechte Tangente:

$$ \frac { \delta f } { d y } = 0 $$

Im Lösungsbuch stehen folgende Ergebnisse drin:

Ordinatenabschnitte:

y1 = y2= 0 ;   y3=a;     y4=-a

Abzissenabschnitte:

x1 = x2 = x3=0;  x4=-2a

Waagrechte Tangente:

x1=x2=0;    x3= -3/4a;   y3= +-sqrt(27)* a/4

Senkrechte Tangente:

x1= a/4;     y1= +- sqrt(3)*a/4;     x2= -2a

Meine Frage ist, wie ich auf die übrigen Werte der Ordinatenabschnitte und Abzissenabschnitte komme und auf die Ergebnisse der Tangente bin ich ebenfalls nich gekommen.

Answer 1

Du musst für die Ordinatenabschnitte und Nullstellen beachten, dass

√(x²) = |x|

ist. Denn wenn zum Beispiel x=-1 gilt, dann ist x² = 1 und √x² = 1 = |-1|.

Damit erhältst als Gleichung für die Ordinatenabschnitte:

y² = a*|y|

Damit erhält du eben die zusätzliche Lösung -a, denn

(-a)² = a² = a*|-a|

Dass die Lösung y = 0 zweimal genannt wird, hat nur den Grund, dass es sich um eine "doppelte Nullstelle handelt", wegen des y². Das führt im Schaubild der Funktion dazu, dass die y-Achse nur berührt aber nicht geschnitten wird.

 

Genauso für die Nullstellen:

x²+ax = a*|x|

Das heißt, du musst eine Fallunterscheidung machen:

x>0:
x²+ax = ax  |-ax
x² = 0 ⇒ x=0

x<0:
x²+ax = -ax |-ax

x² = -2ax  |:x

x = -2a

 

Wie man die Position der tangenten ausrechnet, weiß ich leider nicht, dafür kenne ich mich zu wenig mit solchen bestimmenden Gleichungen aus.