Aufgabe: f(x) = √(4 - x²)
Das ist ein Teil einer Kreisfunktion. Und zwar der obere Halbkreis. Definitionsbereich ist [-2 ; 2].
f '(x) = - x/√(4 - x^2)
Streng monoton steigend wenn f '(x) ≥ 0.
Es kommt uns zur Hilfe, das der Nenner nie Negativ wird.
also für -2 <= x <= 0.
Streng monoton fallend also für 0 <= x <= 2
f ''(x) = - 4/(4 - x^2)^{3/2}
Der Ausdruck ist immer negativ also ist die Funktion konkav.
Aufgabe: f(x) = x³ - 3x² - 4x - 1
f(x) = x^3 - 3·x^2 - 4·x - 1
f '(x) = 3·x^2 - 6·x - 4
f ''(x) = 6·x - 6
Streng monoton steigend für f'(x) > 0
3·x^2 - 6·x - 4 ≥ 0 Wir lösen das mit der abc-Formel
x <= 1 - √21/3 ∨ x ≥ √21/3 + 1
x <= -0.5275252316 ∨ x ≥ 2.527525231
D.h.
Streng monoton fallend für
1 - √21/3 <= x <= √21/3 + 1
Konvex für f ''(x) ≥ 0
6·x - 6 ≥ 0
x ≥ 1
Demzufolge konkav für
x <= 1
