a) Zeigen Sie mit Hilfe einer Abschätzung für die linke und die rechte Seite, dass die Gleichung keine Lösung \( x \) mit \( x<0 \) besitzt.
Es ist exp(-x^2) immer >0 und in diesem Fall x<0, also keine Lösung für x<0.
b) Zeigen Sie, dass die Gleichung keine Lösung \( x \) mit \( x>1 \) besitzt.
Für x>1 ist -x^2 < -1 also exp(-x^2) < exp(-1) = 1/e < 1 .
Wegen x>1 also keine Lösung möglich.
c) Zeigen Sie, dass die Gleichung mindestens eine Lösung im Intervall [0,1] besitzt.
Betrachte f(x) = exp(-x^2) - x . Dann ist f(0) = 1 > 0 und f(1) = exp(-1) - 1 < 0
Da f stetig ist, gibt es zwischen 0 und 1 mindestens eine Nullstelle, also eine
Lösung der gegeb. Gleichung.
d) Zeigen Sie mit Hilfe der Monotonieeigenschaften der linken und der rechten Seite, dass die Gleichung keine weitere Lösung im Intervall [0,1] besitzt.
Es hat die Abl. von exp(-x^2) den Term -2x*exp(-x^2) , ist also
für x>0 negativ. ==> exp(-x^2) ist monoton fallend. und
die Funktion zu g(x)=x ist streng monoton steigend, also kann es keine
zwei Schnittpunkte der Graphen für x>0 geben, also hat die Gleichung
genau eine Lösung.
