Sei A eine Matrix. Welche Matrizen sind in der Teilmenge von Mn(K) enthalten?

Question

Für1 ≤ k, l ≤ n,sei E_k,l = (e_i,j ) ∈ M_n(K) die Matrix gegeben durch

e_i,j = {1 für(i, j ) = (k, l)

          { 0 sonst.

1.Sei A = (a_i,j) ∈ M_n (K) eine Matrix. Berechnen Sie AE_k,l und E_k,lA für alle k, l.

2.Welche Matrizen sind in der Teilmenge Z (M_n(K)) = {A ∈ M_n(K) | AB = BA für alle B ∈ M_n(K)}
enthalten?

 

Habe für beide Fragen keine wirkliche Antwort parat. Die Erste würde ich eventuell mit sehr viel Aufwand noch hinbekommen, aber bei der Zweiten seh ich schon wieder kein Land.

Comments

Ich wäre ebenfalls sehr für eure Hife dankbar!

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Hänge da auch dran...

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So viel Aufwand ist bei der Ersten wohl nicht nötig.

Aber die löst sich auf Papier viel einfacher als am Compi.  

Multipliziere erst mal eine beliebige 4*4- Matrix

A mit Elementen a_{zeile, spalte} von 1-4 durchnummeriert mit

e_2,3 : einer 4*4 -Matrix mit einer 1 an der Stelle: 2. Zeile, 3. Spalte. 

Fast in jedem Resultat in der resultierenden Matrix steht dann 0.

Nun schaust du, welche Nr. das (oder die) Elemente ≠ 0 hat (haben). Sagen wir b_m,n

und schreibst = b_m,n * E_m,n + allfällige weitere als Ergebnis.

Nun noch dieselben Matrizen in umgekehrter Reihenfolge, wenn du willst und es übersichtlich bleibt, gleich mit Pünktchen für beliebig grosse Matrizen.

Das Resultat könnte ev. bei der zweiten Aufgabe nützlich sein. 

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Wenn du es als Antwort verfasst, kann ich dir auch Punkte geben :) Ansonsten wäre es super, wenn du es noch ein wenig ausführlicher machen könntest. Was heißt dass ich jede MAtrix nutzen kann? Also bspw auch nur 0/1?

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Wenn ich so was als Antwort hinschreibe, verschwindet die ganze Frage bei der Rubrik offene Fragen. Da schaut dann ev. niemand mehr vorbei.

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Hat jetzt eh wer gemacht. Wobei derjenige auch eine Frage und keine Antwort gegeben hat^^

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Die Antwort von Anonym ist falsch, die Matrix e_i,j ist bereits falsch aufgeschrieben^^

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Dann lieber nicht draufschauen ^^

Answer 1

Wenn ich nichts falsch gemacht haben sollte, geht a) so:

Code: \begin{pmatrix} 0 & ... & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & 0 & ... & ... \\ 0 & ... & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & 0 & ... & ... \\ 0 & ... & 0 & ... & 0 \end{pmatrix}\quad (n\times n\quad Matrix)\quad Überall\quad 0,\quad außer\quad 1\quad genau\quad an\quad der\quad Stelle:\quad Zeile\quad k,\quad Spalte\quad l\\ Nun\quad hast\quad du\quad eine\quad beliebige\quad Matrix\quad A:=\begin{pmatrix} x11 & ... & x1l & ... & x1n \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ xk1 & ... & xkl & ... & xkn \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ xn1 & ... & xnl & ... & xnn \end{pmatrix}\quad (n\times n\quad Matrix)\\ A*{ E }_{ k,l }\quad =\quad \begin{pmatrix} 0 & ... & x1l & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & xkl & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & xnl & ... & 0 \end{pmatrix}\quad Es\quad bleibt\quad nur\quad die\quad l-te\quad Spalte\quad erhalten.\\ { E }_{ k,l }*A\quad =\quad \begin{pmatrix} 0 & ... & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ xk1 & ... & xkl & ... & xkn \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & 0 & ... & 0 \end{pmatrix}\quad Es\quad bleibt\quad nur\quad die\quad k-te\quad Zeile\quad erhalten.

Answer 2

 

Damit wir nötigenfalls hier noch was diskutieren können.

Also nur mal zu a) die Skizze, die ich bereits im Kommentar geschrieben habe:

So viel Aufwand ist bei der Ersten wohl nicht nötig.

Aber die löst sich auf Papier viel einfacher als am Compi.  

Multipliziere erst mal eine beliebige 4*4- Matrix

A mit Elementen a_{zeile, spalte} von 1-4 durchnummeriert mit

e_2,3 : einer 4*4 -Matrix mit einer 1 an der Stelle: 2. Zeile, 3. Spalte. 

Fast in jedem Resultat in der resultierenden Matrix steht dann 0.

Nun schaust du, welche Nr. das (oder die) Elemente ≠ 0 hat (haben). Sagen wir b_m,n

und schreibst = b_m,n * E_m,n + allfällige weitere als Ergebnis.

Nun noch dieselben Matrizen in umgekehrter Reihenfolge, wenn du willst und es übersichtlich bleibt, gleich mit Pünktchen für beliebig grosse Matrizen.

Zu b) 

Das Resultat könnte ev. bei der zweiten Aufgabe nützlich sein. Weiss aber ehrlich gesagt noch nicht wie, da ich a) nicht weiterverfolgt habe.

Bei b) sind gemäss Aufgabenstellung alle Matrizen A gesucht, die man von Links und von Rechts mit jeder beliebiegen nxn-Matrix multiplizieren kann, ohne, dass man die Resultate unterscheiden kann.

Da gehört sicher die Einheitsmatrix dazu. Ausserdem alle linearen Vielfachen der Einheitsmatrix.

Vermutlich auch die Matrix mit den Einsen in der andern Diagonalen und deren Vielfache. Noch mehr?

 

 

 

Answer 3

E k,l = (ei,j ) ∈ Mn(K) die Matrix gegeben durch

 

ei,j = {1 für(i, j ) = (k, l)

          { 0 sonst

 

Ist das richtig so:

 

 

Also, wenn Zeile i = Spalte j, dann 1. Sonst 0.

Zeilenlänge von A muss = Spaltenlänge von E sein, damit überhaupt multiplikation möglich ist. Also muss E auch quadratisches Matrix sein?