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Hallo :) Ich habe ein Problem.

Ich verstehe nicht, warum die Integration von

sin(2x) = (1/2)*(-cos(2x))

ist...

das Sinus integriert -cosinus ist, ist mir klar. aber woher kommt das 1/2?

2x integiert ergibt ja x²
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Behauptung: Stammfunktion von f(x) = sin(2x) ist F(x)= (1/2)*(-cos(2x)).

Begründung:

Setze einfach mal F(x) = -cos(2x) + C an. Die Periodenlänge kann ja beim Auf- und Ableiten nicht ändern.

Nun leiten wir das zur Kontrolle (Justierung) noch ab.

Da ist die Kettenregel nötig, da u = 2x eine innere Funktion ist. Es gilt u' = 2.

(-cos(u) )' = sin u

F'(x) = sin u * u' = sin(2x)* 2 = 2*sin(2x) offensichtlich ist da jetzt ein Faktor 2 vor dem sin zu viel. 

Korrigierte Stammfunktion

F(x) = -1/2 cos(2x) + C

Zur Probe nun nochmals ableiten.

F ' (x) = 1/2 sin u * u' = 1/2 sin(2x) * 2 = sin(2x). Stimmt jetzt.

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Hallo und danke erstmal für die Antwort :)

bin aber leider nur bis zu der stelle

F'(x) = sin u * u' = sin(2x)* 2 = 2*sin(2x) offensichtlich ist da jetzt ein Faktor 2 vor dem sin zu viel.

mitgekommen. Wieso machst du aus der 2 auf einmal 1/2?

Ich will ja die 2 dort nicht. Wenn ich 1/2 davor schreibe, bringe ich sie weg, denn 1/2 * 2 = 1. 

Selbstverständlich dann rückwärts überall die blauen Faktoren 1/2 ergänzen.

F'(x) =1/2* sin u * u' =1/2 sin(2x)* 2 = 1/2*2*sin(2x) offensichtlich ist da jetzt ein Faktor 2 vor dem sin zu viel.

 

Integration mittels Substitution ist ein einfacher Weg. Substituiere z = 2x.

Wenn ihr das schon hattet, dann bekommst Du das ganz schnell selber hin.

Wenn ihr das noch nicht hattet, dann hat Lu schon die perfekte Erklärung gebeben.
ahhhh danke jetzt hab ichs verstanden :)

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