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Aufgabe: der graph einer polynomfunktion f vierten grades ist symmetrisch der y-Achse. er besitzt an der stelle 1 eine wendestelle mit der wendetangente t: -4x+y=2,5. Bestimmte die Funktionsgleichung von f


Problem/Ansatz: Wie Löse ich diese Aufgabe?

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Also, du kannst herauslesen, dass die Funktion den vierten Grad besitzt; das bedeutet die Grundform sieht so aus:

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e


Du weißt auch, dass besagte Funktion symmetrisch zur Ordinate ist, also darf der Term nur gerade Exponenten enthalten:

f(x)= ax^4+cx^2+e  (denn ex^0 ist gleich e)


Du weißt auch, dass der Graph den Wendepunkt bei f(1) hat, also muss gelten f´´(1)=o (f´´´(1) ungleich null).


Und außerdem, dass die Steigung für diese Tangente -4 ist, was bedeutet, dass f´(x)= -4 ist.


Ich würde erstmal die Ableitungen bilden und dann beschriebene Infos also einsetzen (:

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Das war schon hilfreich, doch fehlt da nicht noch eine Gleichung?

Wenn du für x die 1 in die Tangentengleichung einsetzt, erhältst du die y-Koordinate des Wendepunktes.

Aufgabe: der Graph einer Polynomfunktion f vierten Grades ist symmetrisch der y-Achse. er besitzt an der Stelle 1 eine Wendestelle mit der Wendetangente t: -4x+y=2,5. Bestimmte die Funktionsgleichung von f

f(x)=a*x^4+c*x^2+e

an der Stelle x=1:

f(1)=a*1^4+c*1^2+e

Da nun an dieser Stelle auch die Wendetangente y=4x+2,5 läuft, gilt

y(1)=4*1+2,5=6,5

1.) a*1^4+c*1^2+e=6,5

Wendepunkt bei x=1

f´(x)=4ax^3+2cx

f´´(x)=12ax^2+2c

f´´(1)=12a*1^2+2c

2.) 12a*1^2+2c=0

Die Steigung der Wendetangente bei x=1  beträgt   4

f´(1)=4a*1^3+2c*1

3.) 4a*1^3+2c*1=4

Nun kannst du die Werte für a, c und e berechnen.

Ich habe die Tangentengleichung jetzt berechnet und da kam mir 13/2 heraus.
Was wäre der nächste schritt?

Stelle jetzt die drei Gleichungen auf, die sich aus den Informationen ergeben.

Das habe ich schon gemacht, doch mir fehlt nur noch die Gleichung im Zusammenhang mit 13/2.

f(1) = 6,5 ⇒ a + c + e = 6,5

Wie wäre das im Zusammenhang mit der Ableitung?

Wie meinst du das?

Aus den Informationen f'(1) = 4 und f''(1) = 0 hast du doch die anderen beiden Gleichungen gebildet.

Ich benötige halt nur noch eine bestimmte Ableitungsgleichung. Weil man ja insgesamt drei finden muss.

\(f(x)=ax^4+cx^2+e\\f'(x)=4ax^3+2cx\\ f''(x)=12ax^2+2c\)

1 in die 1. Ableitung einsetzen und diese = 4

1 in die 2. Ableitung einsetzen und diese = 0

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