Ist auf V eine K- Algebren-Struktur definiert durch *:VxV→V, V=R^2, (x1,y1)*(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1)?

Question

Aufgabe:

\( V=\mathbb{R}^{2} \), für \( \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in V \) definieren wir \( \left(x_{1}, y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}, x_{1} y_{2}+\right. \)
\( \left.x_{2} y_{1}\right) \)

Für welche der folgenden Vektorräume V definiert · : V x V→  V eine K- Algebren-Struktur?

Definition für k-Algebren von uns:

Deflnition 3.44. Sei \( K \) ein Korper. Eine \( K \) -Algebra [mit Eins] ist eine Struktur
\( (A, K,+K,-K,+, \cdot, \cdot x) \)
po dass
(1) \( \left(A, K,+K, \cdot K,+, \cdot_{n}\right) \) ein \( K \) -Vektorraum ist, und
(2) \( (A,+,-) \) ein Ring [mit Eins] ist, und
(3) \( \forall \lambda \in K \forall a, b \in A\left(\lambda \cdot_{x} a\right) \cdot b=\lambda_{*}(a \cdot b)=a \cdot\left(\lambda \cdot_{x} b\right) \).

Comments

Anmerkung: Hängt zusammen mit https://www.mathelounge.de/84250/lineare-algebra-assoziativitat-zeigen-x1y1-x1x2-y1y2-x1y2?show=84250#q84250

Answer 1

Das sollte eigentlich jeder schonmal gesehen haben, der bei der Einführung
der komplexen Zahlen aufgepasst hat.

Offenbar ist $$\phi:V\Rightarrow \mathbb{C}, \; (x,y)\mapsto x+iy$$ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum-Isomorphismus.

Ferner gilt \(\phi((x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2))=\phi((x_1,y_1))\phi((x_2,y_2))\), wie man
leicht nachrechnet. \(\phi^{-1}\) überträgt die \(\mathbb{R}\)-Algebrastruktur von \(\mathbb{C}\)
isomorph auf \(V\), wo sie mit der angegebenen Multiplikation übereinstimmt.
\(V\) ist damit eine zu \(\mathbb{C}\) isomorphe \(\mathbb{R}\)-Algebra.