Heuschreckenschwarm wird wöchentlich um 50% größer (Wachstumsfunktion/e-Funktion)

Question

Eine Heuschreckeschwarm wird wöchentlich um 50% größer. Die Anzahl der Heuschrecken wir mithilfe der funktionsgleichung f(t)=1000 *e ^ (0,4055*t) beschrieben.

4.1 Welche Art von wachstum wird dabei vorausgesetzt ?

Geben sie die bedeutung von t und die anzahl der tiere zu beginn an.

4.2 Wie viele tiere hat der schwarm nach 4 wochen?

4.3 bei 150000 tieren soll die bekämpfung durch pestizide einsetzten.

Wann wird dies erfolgen müssen ?

Geben Sie das Ergebnis in Tagen an).

4.4 Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn un nach 6 Wochen.

4.5 Interpretieren Sie die unterschiedlichen Waachstumsgeschwindigkeiten.

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass das t mit im Exponenten steht, da es sonst keine Wachstumsfunktion wäre.

4.1

Es wird exponentielles Wachstum vorausgesetzt, da eine e-Funktion zur Beschreibung eingesetzt wird.

t = Anzahl der Wochen, die vergehen

Anzahl der Tiere zu Beginn: f(0) =  1000 *e ^ (0,4055*0) = 1000

4.2

Anzahl der Tiere nach 4 Wochen = f(4) = 1000 *e ^ (0,4055*4) = 5063

4.3

Zeit, die vergeht bis 150000 Tiere vorhanden sind:

f(t) = 150000 = 1000 *e ^ (0,4055*t)

               150 = e ^ (0,4055*t)

               ln 150 = 0,4055*t

               t   = 12,4 Wochen = 86,5 Tage

4.4  Wachstumsgeschwindigkeit ist die Ableitung

f '(t) = 405,5 * e ^ (0,4055*t)

Beginn: f ' (0) = 405,5 * e ^ (0,4055*0) =405,5

nach 6 Wochen: f ' (6) =  405,5 * e ^ (0,4055*6) =4619,9

Comments

Kannst du mir bitte die 4.3 und 4.4  noch ausführlicher darstellen , ich meine damit die Zwischenschritte , die du weggelassen hast .

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4.3

f(t) = 150000 = 1000 *e ^ (0,4055*t)             / :1000
           
150 = e ^ (0,4055*t)                          / ln ()

ln 150 = 0,4055*t                              / : 0,4055

t   = 12,4 Wochen                             / * 7

t    = 86,5 Tage

4.4

f '(t) = 1000*0,4055*e ^ (0,4055*t) = 405,5 * e ^ (0,4055*t)

f ' (0) = 405,5 * e ^ (0,4055*0) = 405,5 * e ^ 0 = 405,5 * 1 =  405,5

f ' (6) =  405,5 * e ^ (0,4055*6) =4619,9     (Taschenrechner!)