Äquivalenz von Aussagen zur Definition von Basis durch Ringschluss beweisen

Question

V sei ein n-dimensionaler Vektorraum und B Teilmenge von V.

Beweis dass die Aussagen äquivalent sind (durch Ringschluss):

a) B ist eine Basis

b) B ist ein minimales Erzeugendensystem

c) B ist eine maximal linear unabhängige Teilmenge von V (B ist linear unabhängig und jede Obermenge von B ist linear abhängig)

Mir ist klar wieso die Aussagen äquivalent sind, jedoch weiß ich nicht wie ich das beweisen soll.

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aus Duplikat:

kann mir jemande helfen, wie ich das darstellen kann?

Gegeben: Sei ein B={b1,...,bn} Teilmenge von V eine Menge von Vektoren in einem reellen Vektorraum V.

nun muss ich die Äqulvalenz folgende Behauptungen beweisen und weiß keine herangehensweise

1) die Menge von B ist eine Basis von V

2) Die menge der vektoren {b1,...bn} bildet eine minimales Erzeugendensystem von V.  (minimal: dassnach dem  wegnehmen eines vektors kein erzeugendensystem von v mehr besteht)

3) die menge der vektoren {b1,...bn} bildet ein maximales system linear unabhängiger vektoren. (maximal: das hinzufügen eines vektors führt zu einer linear abhängigen menge von vektoren)

Comments

Wenn da ein Ringschluss verlangt ist, solltest du im Kreis argumentieren und z.B.

begründen, dass

1. jede Basis ein minimales Erzeugendensystem ist

2. jedes minimale Erzeugendensystem eine maximal linear unabhängige Teilmenge von V

3. jede maximal linear unabhängige Teilmenge von V eine Basis.

Oder z.B. in die umgekehrte Richtung.

 

Ein Anfang: Beweisschritt 1. ==> 2.

Voraussetzung B = {b_1, b₂…} ist Basis:

Def. in Worten: Eine Basis ist eine Menge von Vektoren so dass sich jedes Element des Vektorraums eindeutig als Linearkombination dieser Vektoren schreiben lässt.

Def. in Worten Erzeugendensystem: Jedes Element des Vektorraums lässt sich als Linearkomb. des Erzeugendensystems darstellen.

B ist ein Erzeugendensystem. Die Darstellung ist sogar eindeutig.

zu zeigen: B ist minimal: 

Annahme man kann das Element b₁ (ohne Einschränkung der Allgemeinheit; notfalls neu nummerieren) aus B weglassen führt aus folgenden Widerspruch:

b liegt in V, daher lässt sich b als Linearkomb. der übrigen Basiselemente darstellen. Also:
b₁=xb₂ + yb₃ + …

Aber es gilt auch b₁ = 1 * b₁, d.h. es gäbe einen Vektor in V, der auf 2 Arten als Lin.Komb. der Basiselemente darstellbar ist. Das widerspricht der Definition. → Das Erz.system ist minimal.

 

 

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Kommentar kann hier gelöscht werden, da ich daraus eine teilweise Antwort gemacht habe.

Answer 1

Wenn da ein Ringschluss verlangt ist, solltest du im Kreis argumentieren und z.B.

begründen, dass

1. jede Basis ein minimales Erzeugendensystem ist

2. jedes minimale Erzeugendensystem eine maximal linear unabhängige Teilmenge von V

3. jede maximal linear unabhängige Teilmenge von V eine Basis.

Oder z.B. in die umgekehrte Richtung.

 

Beweisschritt 1. ==> 2.

Voraussetzung B = {b1, b2…} ist Basis:

Def. in Worten: Eine Basis ist eine Menge von Vektoren so dass sich jedes Element des Vektorraums eindeutig als Linearkombination dieser Vektoren schreiben lässt.

Def. in Worten Erzeugendensystem: Jedes Element des Vektorraums lässt sich als Linearkomb. des Erzeugendensystems darstellen.

B ist ein Erzeugendensystem. Die Darstellung ist sogar eindeutig.

zu zeigen: B ist minimal:

Annahme man kann das Element b1 (ohne Einschränkung der Allgemeinheit; notfalls neu nummerieren) aus B weglassen führt aus folgenden Widerspruch:

b liegt in V, daher lässt sich b als Linearkomb. der übrigen Basiselemente darstellen. Also:
b1=xb2 + yb3 + …

Aber es gilt auch b1 = 1 * b1, d.h. es gäbe einen Vektor in V, der auf 2 Arten als Lin.Komb. der Basiselemente darstellbar ist. Das widerspricht der Definition. → Das Erz.system ist minimal.

Der Rest ist noch offen.

Ich nehme aber an, dass die Beweisschritte 2====>3 und 3===> 1 inzwischen auch gelungen sind.