Wolfram Alpha berechnet: A = 2 und B = 1
https://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+fraction+%282x%2B4%29%2F%28x%2B1.5%29%C2%B2
also das was auch du herausbekommst.
Dennoch: Dein Ansatz und insbesondere deine Berechnungen sehen irgendwie befremdlich aus (vielleicht hast du es auch nur nicht gut abgetippt...?)
So sollte es aussehen:
$$\frac { A }{ x+\frac { 3 }{ 2 } } +\frac { B }{ { \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\frac { 2x+4 }{ { \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } }$$Mit Nennerpolynom multiplizieren:$$\Leftrightarrow \frac { A{ \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ x+\frac { 3 }{ 2 } } +B=2x+4$$$$\Leftrightarrow A{ \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }+B=2x+4$$$$\Leftrightarrow Ax+\frac { 3 }{ 2 } A+B=2x+4$$Koeffizientenvergleich:$$\Rightarrow Ax=2x\wedge \frac { 3 }{ 2 } A+B=4$$$$\Leftrightarrow A=2\wedge \frac { 3 }{ 2 } 2+B=4$$$$\Leftrightarrow A=2\wedge 3+B=4$$$$\Leftrightarrow A=2\wedge B=1$$Also:$$\frac { 2x+4 }{ { \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\frac { 2 }{ x+\frac { 3 }{ 2 } } +\frac { 1 }{ { \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } }$$
EDIT: Danke an Unknown.
Hmm, also, man darf sich auf nichts verlassen, sondern muss immer alles selber nachrechnen...
Insbesondere durfte ich mich bei meiner Antwort nicht darauf verlassen, dass gilt:
4 x ² + 12 x + 9 = ( x + ( 3 / 2 ) ) 2
(Klar, das hätte ich sehen müssen, war aber mit den Gedanken wohl schon weiter und hab's einfach so hingenommen.)
Statt dessen gilt:
4 x ² + 12 x + 9 = 4 * ( x + ( 3 / 2 ) ) 2 = ( 2 x + 3 ) 2
Damit sieht die Rechnung dann z.B. so aus:
$$\frac { A }{ x+\frac { 3 }{ 2 } } +\frac { B }{ { \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\frac { 2x+4 }{ { \left( 2x+3 \right) }^{ 2 } } =\frac { 2x+4 }{ { 4\left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } }$$$$\Leftrightarrow \frac { 4A{ \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ x+\frac { 3 }{ 2 } } +\frac { 4B{ \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } }{ { \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =2x+4$$$$\Leftrightarrow 4A{ \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }+4B=2x+4$$$$\Leftrightarrow 4Ax+6A+4B=2x+4$$Koeffizientenvergleich:$$\Rightarrow 4Ax=2x\wedge 6A+4B=4$$$$\Leftrightarrow A=\frac { 1 }{ 2 } \wedge 3+4B=4$$$$\Leftrightarrow A=\frac { 1 }{ 2 } \wedge B=\frac { 1 }{ 4 }$$Also:$$\frac { 2x+4 }{ 4{ \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ x+\frac { 3 }{ 2 } } +\frac { \frac { 1 }{ 4 } }{ { \left( x+\frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 } }$$$$=\frac { 1 }{ 2x+3 } +\frac { 1 }{ (2x+3)^{ 2 } }$$
