Zeige: (a+b)p ≡ ap + bp mod p

Question

Es seien \( a, b \in \mathbb{Z} \) und \( p \in \mathbb{P} \). Dann gilt

(a+b)^p ≡ a^p + b^p mod p.
Wwiß jemand, wie man sowas beweist?

Answer 1

Erst einmal zwei Beispiele, um das Problem zu verdeutlichen.

(a+b)^p ≡ a^p + b^p mod p.

(2+5)^3=343 → Rest 1 bei Div. durch 3

2^3+5^3=133 --> Rest 1 bei Div. durch 3

Aber, falls p keine Primzahl ist:

(1+3)^4=256 → Rest 0 bei Div. durch 4

1^4+3^4=82 --> Rest 2 bei Div. durch 4

p sei eine beliebige Primzahl.

\((a+b)^p=a^p + b^p +\sum_{i=1}^{p-1}\binom p i a^i b^{p-i}\)

Es muss gezeigt werden, dass die Summe durch p teilbar ist.

\(\binom p i =\frac{p!}{i!(p-i)!}\)

Da p eine Primzahl ist, sind alle kleineren natürlichen Zahlen außer 1 keine Teiler von p.

i nimmt höchstens den Wert p-1 an, ebenso p-i für i=1.

Daher kann keiner der Binomialkoeffizienten mit p gekürzt werden. Die Summe ist famit durch p teilbar.

:-)

Comments

danke für die ausführliche antwort.

Answer 2

Nimm den binomischen Satz und zeige, dass alle Binomialkoeffizienten

\( \begin{pmatrix} p\\k \end{pmatrix} \) mit k=1,...,p-1 durch p teilbar sind.

Denn wenn die Darstellung (  p*(p-1)*(p-2)*...*(p-k)  )  /  k!

eine nat. Zahl ergibt, muss sich ja der ganze Nenner wegkürzen,

allerdings sind die Faktoren im Nenner alle kleiner als p,

also ist (außer der 1) keiner davon ein Teiler von p, das

p bleibt also in der Primfaktorzerlegung des

Ergebnisses erhalten, somit ist das Erg.

durch p teilbar.

Comments

also ist (außer der 1) keiner davon ein Teiler von p,

Das folgt doch, weil p eine Primzahl ist.