Riesenrad: Trigonometrische Funktionen. Prüfe rechnerisch, ob die Gondel zum Zeitpunkt t=80 steigt oder sinkt.

Question

Aufgabe:

\( h(t)=15 \times \sin \left(\frac{2 \pi}{120}(t-30)\right)+20=15 \times \sin \left(\frac{\pi}{60} t-\frac{\pi}{2}\right)+20 \)

1. Prüfe rechnerisch, ob die Gondel zum Zeitpunkt t=80 steigt oder sinkt. Wie groß ist dabei die momentane Höhenänderung?

Manche Fahrgäste bekommen am Punkt der maximalen Abwärtsgeschwindigkeit ein flaues Gefühl im Bauch.

2. Bestimme zu welchen Zeitpunkten dies der Fall ist.

Answer 1

h(t) = 15* sin (π/60*t-π/2) + 20

1)

Um zu entscheiden, ob die Gondel steigt oder sinkt, musst du wissen, ob der Anstieg der Funktion zum gefragten Zeitpunkt positiv oder negativ ist.

h ' (t) = 15* cos (π/60*t-π/2) * π/60 = π/4 * cos (π/60*t-π/2)

h ' (t=80) = π/4 * cos (π/60*80-π/2) = π/4 * cos (5/6π)  = -0,68

Die Gondel sinkt also gerade. Die Höhenänderung beträgt -0,68.

2)

Die Geschwindigkeit ist immer die erste Ableitung des Ortes, bzw. in diesem Fall der Höhe.

Also:

v(t) = h ' (t) = π/4 * cos (π/60*t-π/2)

Um die maximale Abwärtsgeschwindigkeit auszurechnen, muss man von dieser Funktion die Minima bestimmen.

v ' (t) = -π^2 / 240 * sin (π/60*t-π/2)

Null setzen:

v ' (t) = -π^2 / 240 * sin (π/60*t-π/2) = 0

                                  sin (π/60*t-π/2) = 0

Der Sinus wird 0 für alle kπ (k∈ℤ):

π/60*t-π/2 = kπ

t = (kπ + π/2)/(π/60) = 60(k+1/2) = 60k+30

Minimum oder Maximum:

v '' (t) = -π^3 / 14400 * cos (π/60*t-π/2)

v '' (t=60k+30) = -π^3 / 14400 * cos (π/60*(60k+30)-π/2)

                          = -π^3 / 14400* cos (kπ+π/2-π/2)

cos(kπ) = -1 für k=2n+1 (n∈ℤ)  ⇒ v '' (t=60k+30) > 0 für k=2n+1 ⇒ Minimum für k=2n+1

t_min = 60*(2n+1)+30 = 120n+90

Zu allen Zeitpunkten t_min = 120n+90 (n∈ℤ) wird die Abwärtsgeschwindigkeit maximal.

Aus physikalischen Gründen ist es vielleicht sinnvoller für n nur die natürlichen Zahlen und 0 zuzulassen, da sonst negative Zeitwerte entstehen.