- Allgemein-verständliche Kurzfassung -
Bekanntlich hat es eine Unmenge von Lösungsversuchen des Großen Satzes von Fermat gegeben. Es ist deshalb nicht verwunderlich, wenn man zunächst auf Skepsis und Ablehnung stößt, wenn jemand behauptet, eine Lösung des Problems gefunden zu haben. Dennoch habe ich es vor einigen Jahren gewagt, das Problem „Fermat“ anzugehen. Ein Grund war auch, mich im Ruhestand mathematisch beweglich zu halten. Nach meiner Überzeugung konnte ich das Problem letztlich lösen, und habe meine Arbeit unter fermat-2.hjkp.de im Internet veröffentlicht.
Meine Arbeit stellt sich bescheiden als „Ein Beitrag zum Großen Satz von Fermat“ vor. Das Wort „Beweis“ verwende ich in der Überschrift also zunächst nicht. Wenn Sie sich aber, verehrter Leser, die Mühe machen, meinen „Beitrag“ etwas genauer unter die Lupe zu nehmen, dann werden Sie als Mathematiker feststellen, dass es sich um eine seriöse Arbeit handelt. Es würde mich freuen, wenn Sie dann Lust auf mehr bekommen würden. Sie werden sicher nicht enttäuscht werden.
Anmerkung Redaktion: „Ggf. ein neuer Beweis“ zur Überschrift hinzugefügt.
Um von vornherein Klarheit zu schaffen, führe ich die Vermutung von Fermat zunächst einmal an. Sie lautet:
Gegeben sind natürliche Zahlen a und b sowie als Exponent die natürliche Zahl n, wobei \( n>2 \), Es gibt KEINE natürliche Zahl c, so dass die Gleichung erfüllt werden könnte: \(a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
Die natürlichen Zahlen sind \( n=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots \} \).
Bei meiner Arbeit habe ich die unter Zahlentheoretikern üblichen Mittel und Wege gewählt:
a) Die Primfaktor-Zerlegung natürlicher Zahlen habe ich angewandt.
b) Die Primheit auftretender Zahlenpaare, wie a und b, angenommen und die Primheit von einem Term mit einem anderen Term gefordert oder falls nötig bewiesen.
Durch diese Methode wird die allgemeine Gültigkeit der Aussagen und der Beweise nicht eingeschränkt.
Die Primfaktor-Zerlegung wird bereits beim Exponenten \( n, n \gt 2 \), vorgenommen. Es wird bewiesen, dass man alle möglichen Exponenten \( n=3 ; 4 ; 5 ; \ldots \) erreicht, wenn man annimmt, dass
Fall I) \( n \) eine ungerade Primzahl \( p \) ist. Also \( p=3,5,7,11, \ldots \)
Fall II) \( n \) eine echte Potenz von 2 ist. Also \( n=4,8,16,32, \ldots \)
In dieser Zusammenfassung wird nur Fall I behandelt \( a^{p}+b^{p}=c^{p}, \quad p=3 ; 5 ; 7 ; 11 ; \ldots \)
und zwar unter der Einschränkung, dass der Exponent \( p \) nicht teilt weder das Argument \( a \), noch \( b \), noch \( c \). Wird diese Einschränkung nicht vorgenommen, dann ist die Behandlung aufwendiger aber nicht unbedingt auch schwieriger. Ich habe diese Fälle ebenfalls behandelt und gelöst.
Wir betrachten zunächst den Term
$$ c^{p}-b^{p} $$
Eine Faktorisierung bietet sich hier geradezu an
$$ \begin{array}{l} c^{p}-b^{p} \equiv(c-b) \cdot S(c ; b) \\ \text { wobei } S(c ; b):=c^{p-1}+c^{p-2} ~b+c^{p-3} ~b^{2}+c^{p-4} ~b^{3}+\ldots \ldots \ldots+c^{2} ~b^{p-3}+{cb}^{p-2}+b^{p-1} \end{array} $$
Es ist leicht einzusehen, dass der Faktor \( S(c; b) \) irgendwie vom Exponenten \( p \) abhängen wird. Während die Argumente \( c \) und \( b \) beliebig gewählt werden können, so dass die Differenz nicht vom Exponenten \( p \) abhängig sein muss. Es stellt sich heraus, und das kann mit einfachen Sätzen aus der Gruppentheorie bewiesen werden, dass die beiden Faktoren zueinander prim sind, falls \( p \) die Differenz \( (c - b) \) nicht teilt. Diese Erkenntnis ist von entscheidender Bedeutung:
Soll Fermat erfüllt sein
\( c^{p}-b^{p}=a^{p} \)
dann müssen wegen ihrer Primheit beide Faktoren jeweils „Fermat-Potenzen“ sein:
\( \begin{array}{l} c-b=x^{p} \\ S(c ; b)=X^{p}, \text { wobei } \operatorname{ggT}\left(x^{p}, X^{p}\right) 0 ! \end{array} \)
Zum Beweis benötigen wir nur die Differenz als Fermat-Potenz; diese aber ist eine Hauptstütze.
Wir betrachten nun den Term \( c^{p}-a^{p} \)
und seine Zerlegung \( c^{p}-a^{p} \equiv(c-a) \cdot S(c ; a) \)
Durch Vertauschung von \( a \) mit \( b \) kann man folgern:
Auch hier müssen die beiden Faktoren zueinander prim sein, falls \( p \) nicht \( (c -a) \) teilt. Und soll Fermat erfüllt sein \( c^{p}-a^{p}=b^{p} \), dann müssen wegen ihrer Primheit beide Faktoren jeweils „Fermat-Potenzen“ sein:
\( c-a=y^{p} \)
\( S(c ; a)=y^{p} ; \) wobei \( \operatorname{ggT}\left(y^{p}, y^{p}\right)=1 \)
Zu guter Letzt kann man auch den Summenterm \( a^{p}+b^{p} \) faktorisieren in \( a^{p}+b^{p}=(a+b) \cdot G(a ; b) \)
wobei \( G=G(a ; b):=a^{p-1}-a^{p-2} ~b+a^{p-3} ~b^{2}-a^{p-4} ~b^{3}+\ldots +- \ldots +a^{2} ~b^{p-3}-ab^{p-2}+b^{p-1} \)
Auch hier sind, das wird gezeigt, die beiden Faktoren zueinander prim, falls \( p \) die Summe \( (a+b) \) nicht teilt, so dass man mit obiger Begründung diese als Fermat-Potenzen annehmen kann:
\( a+b=z^{p} \)
\( G(a ; b)=Z^{p} \), wobei \( g g T\left(z^{p} ; Z^{p}\right)=1 \)
Wiederum benötigen wir für die Bearbeitung nur die Summe.
Aus den drei Gleichungen
$$ \begin{array}{l} c-b=x^{p} \\ c-a=y^{p} \\ a+b=z^{p} \end{array} $$
ermitteln wir die Abhängigkeit der Argumente \( a, b, c \) von den Fermat-Potenzen
$$ \begin{array}{l} 2 a=x^{p}-y^{p}+z^{p} \\ 2 b=-x^{p}+y^{p}+z^{p} \\ 2 c=x^{p}+y^{p}+z^{p} \end{array} $$
Diese Abhängigkeit ist notwendig für eine mögliche Erfüllung der Fermat-Gleichung, aber natürlich nicht hinreichend.
Daraus folgt diese Fermat-Gleichung
$$ (2 a)^{p}+(2 b)^{p}=(2 c)^{p} $$
Wir setzen nun in obige Gleichungen ein und haben die Gleichung
$$ \left(\left(x^{p}-y^{p}\right)+z^{p}\right)^{p}+\left(-\left(x^{p}-y^{p}\right)+z^{p}\right)^{p}=\left(\left(x^{p}+y^{p}\right)+z^{p}\right)^{p} $$
Nach dem binomischen Satz erhalten wir:
Auf der linken Seite: $$ \left[\left(\left(x^{p}-y^{p}\right)+z^{p}\right)^{p}\right]+\left[\left(-\left(x^{p}-y^{p}\right)+z^{p}\right)^{p}\right]=$$
Es werden nur jeweils die ersten beiden Terme angegeben \( \left[\left(x^{p}-y^{p}\right)^{p}+p\left(x^{p}-y^{p}\right)^{p-1} z^{p}+\ldots \right]+\left[\left(y^{p}-x^{p}\right)^{p}+p\left(y^{p}-x^{p}\right)^{p-1} z^{p}+\ldots \right]= \)
Es annullieren sich von den beiden Termen die Summanden Nr. 1, Nr. 3, Nr. 5 usw.
Die Summanden Nr. 2, Nr. 4, Nr. 6 usw. „verdoppeln“ sich und enthalten den Faktor \( z^{p} \) und seine steigenden Potenzen. Der erste Term ist $$ 2 p\left(x^{p}-y^{p}\right)^{p-1} z^{p}+\ldots $$
Folgerung: Die linke Seite ist durch \( z^{p} \) teilbar.
Auf der rechten Seite:
$$ \begin{array}{l} =\left(\left(x^{p}+y^{p}\right)+z^{p}\right)^{p} \\ =\left(x^{p}+y^{p}\right)+2 p\left(x^{p}+y\right)^{p-1} z^{p}+\ldots \ldots \ldots \end{array} $$
Alle weiteren Summanden enthalten wiederum den Faktor \( z^{p} \) und seine steigenden Potenzen.
Wir müssen nun zwei Fälle unterscheiden:
a) Die Potenz \( \left(x^{p}+y^{p}\right)^{p} \) ist nicht durch \( z^{p} \) teilbar \( - \) das ist wohl die Regel. Siehe Satz 6.1/4a)
Damit ist die rechte Seite ebenfalls nicht teilbar durch \( z^{p} \).
In diesem Falle ist die Vermutung von Fermat bestätigt, der Satz also bewiesen.
b) Die Potenz \( \left(x^{p}+y^{p}\right)^{p} \) ist im Sonderfall durch \( z^{p} \) teilbar. Siehe Satz 6.1/4b)
Und damit sind beide Seiten durch \( z^{\text {p }} \) teilbar.
Wenn in diesem Fall beiden Seiten durch \( z^{p} \) teilbar sind, dann ist aber nicht gesagt, dass die beiden Seiten gleich sind. Die Teilbarkeit ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Gleichheit der beiden Seiten.
Dass es auch in diesem Falle mit der Vermutung von Fermat seine Richtigkeit hat, wird in meiner Arbeit durch die Methode des sukzessiven Abstiegs bewiesen. Das Argument c wird durch Teilung mit der Potenz \( z^{p} \) kleiner. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, so dass nach endlich vielen Schritten schließlich zu Recht angenommen werden kann, dass das aus c entstandene Argument nicht mehr als Summe von drei Fermat-Potenzen dargestellt werden kann. Also kann damit keine Fermat-Gleichung mehr gebildet werden.
Auch in diesem Falle ist die Vermutung von Fermat bestätigt, der Satz also bewiesen.