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Seien f,g (stetig) : IR → IR und f(x) = g(x) für alle x Elemente IQ

Zeige: f(x) = g(x) für alle x Elemente IR

Analog: f(x) = g(x) für alle x mit 0 < (x-a) < δ ⇒ f(a) = g(a)

Kann mir jemand helfen zu zeigen, dass zwei stetige Funktionen gleich sind? Bin über jeden Ansatz dankbar!

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Kammen irgendwelche Sätze zur eindeutigen Fortsetzbarkeit kürzlich in der Vorlesung vor?

 

Also es gibt sogar eine lösung davon nur versteh ich  die lösung nicht ganz , außerdem sollen wir dazu nicht die lösungen benutzen, also es selber erklären können :)

Vom Duplikat:

Titel: Stetige Funktionen von R nach R. Zu zeigen, es gelte f(r) = g(r) fur jedes r ∈ Q. Dann ist f = g.

Stichworte: funktion,stetig,rational,reell

kann jemand mir helfen ?

Seien f, g : R → R stetige Funktionen.

Zu zeigen, es gelte f(r) = g(r) für jedes  r ∈ Q. Dann ist f = g.


2 Antworten

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Beste Antwort

Sei x∈ℝ\ℚ. Bekanntlich existiert eine Folge {an}n>0 mit  ak∈ℚ  für alle  k∈ℕ  und  limn→∞an = x.
Da  f  und  g  stetig sind, gilt
f(x) = f(limn→∞an) = limn→∞f(an) = limn→∞g(an) = g(limn→an) = g(x).
Also ist  f(x) = g(x)  für alle x∈ℝ.

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Für jedes x∈ℝ gibt es eine Folge (xn)n∈ℕ , mit xn ∈ℚ, die gegen x konvergiert,

weil die Menge Q dicht in ℝ ist.

Für alle Folgenglieder gilt aber  f(xn) = g(xn) , wegen der Stetigkeit (Folgenkriterium)

 gilt also auch  f(x) = g(x).

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