Welche Elemente enthält der Faktorring V : = ℝ[x]/⟨x³+x+1⟩

Question

Hey ich habe letztens folgenden Faktorring gesehen:

V : = ℝ[x]/⟨x³+x+1⟩

Ich habe allerdings noch nicht so ganz verstanden welche Elemente in diesem Faktorring enthalten sind. Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

Es sei \([f]:=f+(x^3+x+1)\) die Restklasse von \(f\in\mathbb{R}[x]\) modulo \((x^3+x+1)\).
Dann ist \(\mathbb{R}[x]/(x^3+x+1)=\{a[1]+b[x]+c[x]^2:\; a,b,c\in \mathbb {R}\}\); denn

\([x]=x+(x^3+x+1)\),
\([x]^2=[x^2]=x^2+(x^3+x+1)\),
\([x]^3+[x]+[1]=[x^3+x+1]=[0]\).

Nennen wir den Restklassenring (Faktorring) \(L\).
Da \(x^3+x+1\) mindestens eine reelle Nullstelle hat, kann man schließen, dass \(L\) Nullteiler besitzt.

Gruß ermanus