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Aufgabe:


Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei definiert durch


\( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left\{\begin{array}{cll} \frac{\log \left(1+x_{1}^{2} x_{2}^{2}\right) x_{2}^{2}}{\sqrt{x_{1}^{4}+x_{2}^{4}}} & , \quad\left(x_{1}, x_{2}\right) \neq(0,0) \\ 0 & ,\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \end{array}\right. \)


Zeigen Sie, dass \( f \) stetig ist.


Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass \( f \) an der Stelle \( (0,0) \) stetig ist. Zeigen Sie im Anschluss daran, dass \( f \) sogar auf ganz \( \mathbb{R}^{2} \) stetig ist.



Problem/Ansatz:

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Vom Duplikat:

Titel: Folge auf Konvergenz gegen null mit Hilfe die Vergleichkriteriums Bn ≤ Cn überprüfen

Stichworte: konvergenz,folge,kriterium,konvergent,prüfen

Aufgabe:

Bn= \( \frac{log ( 1 + x^2 y^2 )y^2  }{\sqrt{x^4 + y^4}} \)

Problem/Ansatz:

Wie kann man diees folge auf konvergent gegen null mit hilfe die vergleichkreterium Bn ≤ Cn überprüfen??

Vielen Dank  !!

B_n hängt von n ab, aber die rechte Seite nicht. Die rechte Seite hängt von x,y ab, über die nichts gesagt wird. So ist das keine Aufgabe

Hi .ich habe die frage nicht richtig gestellt .es geht eigentlich um eine stetigkeit mehrdimensional . ich habe an diese punkt erreicht und könnte nicht weiter gehen .

| log (1 + xn^2 * yn^2 ) yn^2 / \( \sqrt{xn^4 + yn^4} \) | ≤ .........*Cn*..........

ich muss irgendwie Cn finden , die gegen null konvergiert ??? hoffe dass ich gut erklärt .

1 Antwort

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Stetigkeit in (0,0):

ich zeige \(f(x_1,x_2)\rightarrow 0\) für \((x_1,x_2)\rightarrow (0,0)\) mit \((x_1,x_2)\neq (0,0)\)

Wegen \(0\leq \log(1+x)\leq x\) für alle \(x\geq 0\) gilt

\(0\leq \log(1+x_1^2x_2^2)\leq x_1^2x_2^2\), also

\(0\leq f(x_1,x_2)=\frac{\log(1+x_1^2x_2^2)x_2^2}{\sqrt{x_1^4+x_2^4}}\leq \frac{x_1^2x_2^4}{\sqrt{x_1^4 + x_2^4}}\).

Wegen \((x_1,x_2)\neq (0,0)\) müssen wir die Fälle \(x_1\neq 0\) und \(x_2\neq 0\) betrachten:

\(x_1\neq 0\Rightarrow f(x_1,x_2)\leq \frac{x_1^2x_2^4}{\sqrt{x_1^4}}=x_2^4\).

\(x_2\neq 0\Rightarrow f(x_1,x_2)\leq \frac{x_1^2x_2^4}{\sqrt{x_2^4}}=x_1^2x_2^2\).

Beide Fälle kann man zusammenfassen:

\(0\leq f(x_1,x_2)\leq \max(x_2^4,x_1^2x_2^2)=x_2^2\cdot \max(x_2^2,x_1^2)\rightarrow 0\)

für \((x_1,x_2)\rightarrow (0,0)\).

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