Untervektorraum + komplementärer Untervektorraum = Vektorraum

Question

kann mir jemand helfen und einen Tipp geben wie ich folgendes Beweisen kann?

V ist ein endlichdimensionaler ℝ-Vektorraum mit Skalarprodukt (·|·) und U⊆V ein Untervektorraum.

U⊥ := {v∈V | v⊥u ∀u∈U} ist der komplementäre Unterraum zu U. U⊥ ist Unterraum von V, und U∩U⊥ ={0}.

Zeigen Sie dass V = U+U⊥ := {u+u⊥|u∈U, u⊥ ∈ U⊥} gilt.

Answer 1

Hallo,

sei $$\{u_1,\cdots,u_r\}$$ eine Basis von U, wobei die u_i normiert sind, also
(u_i|u_i)=1 erfüllen. Zu jedem Vektor v in V definiere die Projektion von v auf U durch$$p_U(v)=\sum_{i=1}^r(v|u_i)u_i\in U$$ Dann gilt $$v=p_U(v)+(id - p_U)(v).$$ Wir müssen also noch zeigen, dass $$(id-p_U)(v)\in U^{\perp}$$ gilt: Für jedes j=1,...,r haben wir $$((id-p_U)(v)|u_j)=((v-\sum_{i=1}^r(v|u_i)u_i)|u_j)=(v|u_j)-(v|u_j)=0\\wegen\; (u_i|u_j)=\delta_{ij}$$

Damit ist die Zerlegung gezeigt.

Gruß ermanus