Berechnen Sie die Koeffizienten vom Polynom P

Question

Aufgabe:

b) Ein Polynom \( P: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) vierten Grades habe reelle Koeffizienten. Es gelte ferner \( P(i)=P(-1+2 i)=0 \) und \( P(1)=8 \). Berechnen Sie die Koeffizienten von \( P . \) Hinweis: Fundamentalsatz der Algebra (s. Vorl.) beachten. Welche (komplexen) Linearfaktoren kennen Sie?

Problem

Answer 1

Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten treten echt komplexe Nullstellen stets als Paare komplex konjugierter Zahlen auf. Das heißt, ist λ = x + iy eine Nullstelle, so auch λ = x − iy

\(\small p(x) \, :=  \, a_4 \; x^{4} + a_ 3 \; x^{3} + a_2 \; x^{2} + a_1 \; x + a_0\)

\(\small \left\{ p\left(i \right) = 0, p\left(-i \right) = 0, p\left(-1 + 2 \; i \right) = 0, p\left(-1 - 2 \; i \right) = 0, p\left(1 \right) = 8 \right\} \)

löse das GLS

\(f(x) \, :=  \, \frac{1}{2} \; x^{4} + x^{3} + 3 \; x^{2} + x + \frac{5}{2}\)