Zeigen Sie, dass \operatorname{det}(\begin{array}{cc}A D\end{array})=(\operatorname{det} A)(\operatorname{det} D) .

Question

Aufgabe:

Seien

\( A \in \operatorname{Mat}(n \times n ; K), \quad B \in \operatorname{Mat}(n \times m ; K) \)

\( C \in \operatorname{Mat}(m \times n ; K), \quad D \in \operatorname{Mat}(m \times m ; K) . \)

Wir fassen \( \left(\begin{array}{cc}A & B \\ C & D\end{array}\right) \) als eine \( (m+n) \times(m+n) \)-Matrix auf. Zeigen Sie, dass \( \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & D\end{array}\right)=(\operatorname{det} A)(\operatorname{det} D) . \)

Hinweis. Denken Sie an den Beweis \( \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B) \) für \( n \times n \) Matrizen

Answer 1

Vom Duplikat:

Titel: Wie zeige ich, dass det (A0BD) = (det A) (det D)?

Stichworte: matrix,determinante,lineare-algebra

Aufgabe:

Seien
\( A \in \operatorname{Mat}(n \times n ; K), \quad B \in \operatorname{Mat}(n \times m ; K) \)
\( C \in \operatorname{Mat}(m \times n ; K), \quad D \in \operatorname{Mat}(m \times m ; K) . \)

Wir fassen \( \left(\begin{array}{cc}A & B \\ C & D\end{array}\right) \) als eine \( (m+n) \times(m+n) \)-Matrix auf. Zeigen Sie, dass \( \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & D\end{array}\right)=(\operatorname{det} A)(\operatorname{det} D) . \)
Hinweis. Denken Sie an den Beweis \( \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B) \) für \( n \times n \) Matrizen

Answer 2

Hallo :-)

Nutze den Fakt, dass das Addieren von Vielfachen einer Zeile zu einer anderen die Deternminante nicht verändert. Die Determinante einer oberen (oder unteren) Dreiecksmatrix ist ja gerade das Produkt seiner Diagonaleinträge. Es gilt also:

$$\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & D\end{array}\right)=(-1)^{v+w}\cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}A' & B' \\ 0 & D'\end{array}\right),$$

wobei \(A', D'\) die nach Zeilenumformungen neuen oberen Dreiecksmatrizen sind. Das kann man also ausführlicher so aufschreiben:

$$\operatorname{det}\left(\left(\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}&\cdots & a_{1n} &\qquad b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} &\qquad b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\qquad \vdots& \vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\qquad b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nm}\\[15pt]0&0&\cdots &0&\qquad d_{11}&d_{12}&\cdots&d_{1m}\\0&0&\cdots&0&\qquad d_{21}&d_{22}&\cdots&d_{2m}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\qquad \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&0&\qquad d_{m1}&d_{m2}&\cdots&d_{mm}\end{array}\right)\right)\\[60pt]=(-1)^{v+w}\cdot \operatorname{det}\left(\left(\begin{array}{cc}a'_{11}&a'_{12}&\cdots & a'_{1n} &\qquad b'_{11} & b'_{12} & \cdots & b'_{1m} \\ 0 & a'_{22} & \cdots & a'_{2n} &\qquad b'_{21} & b'_{22} & \cdots & b'_{2m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\qquad \vdots& \vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&a'_{nn}&\qquad b'_{n1}&b'_{n2}&\cdots&b'_{nm}\\[15pt]0&0&\cdots &0&\qquad d'_{11}&d'_{12}&\cdots&d'_{1m}\\0&0&\cdots&0&\qquad 0&d'_{22}&\cdots&d'_{2m}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\qquad \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&0&\qquad 0&0&\cdots&d'_{mm}\end{array}\right)\right)\\[20pt]=(-1)^v\cdot \left(\prod\limits_{i=1}^n a'_{ii}\right)\cdot (-1)^w\cdot \left(\prod\limits_{k=1}^m d'_{kk}\right)=(-1)^v\cdot \operatorname{det}(A')\cdot (-1)^w\cdot \operatorname{det}(D')\\=\operatorname{det}(A)\cdot \operatorname{det}(D),$$

wobei \(v,w\) die Anzahl der Zeilenvertauschungen jeweils zu \(A\) und \(D\) beschreiben.

Damit brauchst du auch nicht den Hinweis zu benutzen.