0 Daumen
386 Aufrufe

Aufgabe:

Bestimmen Sie die rationalen Zahlen, die durch die folgenden unendlichen periodischen

Dezimalbrüche dargestellt werden:

r1 = 0.55... r2 = 0.3636...
r3 = 0.0483483... r4 = 0.692307692307...

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo Daniel,

Das Verfahren für die Umwandlung periodischer Dezimalzahlen in Brüche ist immer das gleiche. Multipliziere den Wert mit einer 10'ner-Potenz, so dass sich die Periode um eine Wiederholung verschiebt und ziehe davon den Wert wieder ab:$$\begin{aligned}r_1 &= 0,\overline{5} &&|\,\cdot 10 \\10r_1 &= 5,\overline{5} &&|\,-r_1 \\ 9r_1 &= 5 &&|\,\div 9 \\ r_1&=\frac59\end{aligned}$$Bei \(r_2\) muss man mit \(10^2=100\) multipizieren und \(r_3\) geht so$$\begin{aligned}r_3&= 0,0\overline{483} &&|\,\cdot \left(10^3=1000\right)\\ 1000r_3&= 48,3\overline{483}&&|\,-r_3\\ 999r_3 &= 48,3 &&|\,\div 999\\r_3&= \frac{48,3}{999} = \frac{16,1}{333}=\frac{161}{3330}\end{aligned}$$nun versuche Dich selber mal an \(r_4\). Falls etwas unklar ist, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

ich sehe gerade, dass Du es bereits mit unendlichen Reihen zu tun hattest. Obiges Problem kann man auch als eine unendliche geometrische Reihe betrachten.

Am Beispiel von \(r_3\) sähe das so aus:$$r_3 = 0,0\overline{483} = \frac1{10} \cdot 0,\overline{483} = \frac{1}{10} \sum\limits_{k=1}^{\infty} 483\left(\frac1{1000}\right)^k \\\phantom{r_3}= \frac{483}{10} \cdot \frac{\frac1{1000}}{1-\frac1{1000}} =\frac{483}{9990}=\frac{161}{3330}$$

0 Daumen

\( 0,\overline{5} = \frac{5}{9} \)

\( 0,\overline{36} = \frac{36}{99}  = \frac{4}{11}  \)

\( 0,0\overline{483} = 0,\overline{483} : 10 =  \frac{483}{999} :10   = \frac{483}{9990}  = \frac{161}{3330}  \)  etc.

Avatar von 287 k 🚀
0 Daumen

Folgendes Schema direkt einen ungekürzten Bruch zu schreiben hat man ein 8-Klässler entwickelt, der von seinem Lehrer mit solchen Aufgaben genervt wurde. Kürzen sollte dann nicht so schwer sein.

r1 = 0.55...

= 5/9

r2 = 0.3636...

= 36/99 = 4/11

r3 = 0.0483483...

= 483/9990 = 161/3330

r4 = 0.692307692307...

= 692307/999999 = 9/13

Avatar von 477 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community