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Wir definieren f : R>0 → R und φ :] -1, ∞[ → R durch

Zeigen Sie:

(a.)

 

(b.) φ ist auf R≥0 streng monoton wachsend.

(c.) φ (ξ) > 0 für ξ>0

(d.) Die Funktion

ist auf R>0 streng monoton wachsend.

Gefragt von
Würde mich auch über die Lösungen zu den Aufgaben freuen!

2 Antworten

0 Daumen

Zu d)

Sei f(x) = (1+1/x)x  für  x>0. Dann ist
f'(x) = f(x)[log(1+1/x) - 1/(x+1)].

Für  x>0  ist
e1/(x+1) =  1 + 1/[1!(x+1)1] + 1/[2!(x+1)2] + 1/[3!(x+1)3] + ...
Es folgt
e1/(x+1) < 1 + 1/(x+1) < 1 + 1/x.
Anwenden des Logarithmus ergibt
1/(x+1) <  log(1+1/x).

Da auch  f(x)>0 ist, gilt also  f'(x)>0. D.h. f  ist streng monoton wachsend.

Beantwortet von
Sorry, falsche Lösung. Denkfehler im zweiten Teil.

Korrektur

Sei  h(x) = log(1+1/x) - 1/(x+1).
Dann ist  h'(x) = -1/[x(x+1)2].
Also ist  h  streng monoton fallend.
Wegen  limx→∞h(x) = 0 - 0 = 0  ist  h(x)>0.
Da auch  f(x)>0 ist, gilt also  f'(x) = f(x)h(x)>0. D.h.  f  ist streng monoton wachsend.

0 Daumen
Bei der C) muss man doch "nur" zeigen, dass    log(1+ξ) >  ξ / 1+ ξ oder nicht?

Steh da aber auf dem Schlauch bei dem beweis dieser Aussage.

zu a)

Ist ja nur eine Sache der umformung.

nachdem man f(x) abgeleitet hat hab ich dann mit  1/x² erweitert und kam anschließend auf φ(1/x).

 

zu b)

φ(x) ist streng monoton wachsend wenn φ'(x) > 0

(1 / 1 + x ) > 0  und  ( 1 / (1+x)² ) > 0 also ist φ'(x) > 0 also streng monoton wachsend.

Noch ein frage zu der d)

wieso ist die Ableitung so, also welche regel wurde dafür benutzt?
Beantwortet von
Könntest du das eventuell ausführlicher machen? :)

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