Weg und Arbeitsfunktionen. Beschleunigungsfunktion a(t) = 4-0,2t+0,0025t² (m/s²).

Question

Ein Auto beschleunigt aus dem Stand (s(0)=0, v(0)=0), wobei die Beschleunigung stets abnimmt und schließlich (bei Erreichung der Höchstgeschwindigkeit) gleich 0 wird. Die Beschleunigung t Sekunden nach dem Start ist annähernd gegeben durch a(t) = 4-0,2t+0,0025t² (m/s²). Diese Formel gilt bis zu dem Zeitpunkt t, für den a(t)=0 ist.

1). Wie lange beschleunigt das Auto?

2). Gib eine Formel für die Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t an.

3). Bestimme die Höchstgeschwindigkeit in m/s und in km/h.

4). Gib eine Formel für die Länge w des Weges an, den das Auto bis zum Zeitpunktt zurücklegt.

5). Berechne die Länge des Weges bis zur Erreichung der Höchstgeschwindigkeit.

Answer 1

Ein Auto beschleunigt aus dem Stand (s(0)=0, v(0)=0), wobei die Beschleunigung stets abnimmt und schließlich (bei Erreichung der Höchstgeschwindigkeit) gleich 0 wird. Die Beschleunigung t Sekunden nach dem Start ist annähernd gegeben durch a(t) = 4-0,2t+0,0025t² (m/s²). Diese Formel gilt bis zu dem Zeitpunkt t, für den a(t)=0 ist.

1). Wie lange beschleunigt das Auto?

So lange bis a(t) = 0 ist.

 a(t) = 4-0,2t+0,0025t² = 0

Formel für quadr. Gleichungen: t1 =t2=40. Einheit Sekunden.

Also 40 Sekunden.

2). Gib eine Formel für die Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t an.

v(t) = ∫ a(t) dt = 4t - 0.1t^2 + 0.0025/3 t^3 + C

Wegen v(0) = 0 ==> C=0.


v(t) = 4t - 0.1t^2 + 0.0025/3 t^3

3). Bestimme die Höchstgeschwindigkeit in m/s und in km/h.

v ' (t) = 0 = a(t)       Wie oben berechnet nach 40 Sekunden.

v(t) = 4t - 0.1t^2 + 0.0025/3 t³

v(40) = 4*40 - 0.1*40^2 + 0.0025/3 * 40^3 Einheit m/s

Also 53.333 * 3.6 = 192 km/h Einheit km/h 

Kann das stimmen? Hat's in der Fragestellung oder in meiner Rechnung einen Kommafehler?

4). Gib eine Formel für die Länge w des Weges an, den das Auto bis zum Zeitpunktt zurücklegt.

s(t) = ∫ v(t) dt

s(t) = ∫4t - 0.1t^2 + 0.0025/3 t³ dt

= 2t^2 - 0.1/3 t^3 + 0.0025/12 t^4 + C

s(0) = 0 ==> C=0.

s(t) = 2t^2 - 0.1/3 t^3 + 0.0025/12 t^4 

5). Berechne die Länge des Weges bis zur Erreichung der Höchstgeschwindigkeit.

s(40) berechnen.

s(40) = 2*40² - 0.1/3 * 40³ + 0.0025/12 * 40⁴ = 1600 Einheit Meter

Comments

Vielen Dank, die Lösungen muss ich noch überprüfen, aber hauptsache ich verstehe es und die Rechenschritte stimmen! :)

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