Wie geht es jetzt weiter? Differentialgleichung mit getrennten Variablen lösen

Question

Aufgabe:

Die Differentialgleichung y' = - x - y kann man mit der Substitution v = x +y und v' = 1 +y' in eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen umwandeln. Löse die Differentialgleichung.

Problem/Ansatz:

Nach der vorgegebenen Substitution komme ich auf die Gleichung:

v' - 1 = - v   bzw. v' + v = 1

Wie geht es jetzt weiter?

Da ich erst gerade mit Thema DGL angefangen habe, weiß ich nicht weiter. Bitte um einen Tipp.

Answer 1

v' - 1 = - v

==>  v' = 1-v

dv/dx =  1-v

1*dx =  1/(1-v) dv integrieren

Comments

Sorry für den späten Kommentar. Ich kann deinen Rechenweg nicht nachvollziehen.

Wenn ich deine Zeile 3 mit dx multipliziere, muss doch Zeile 4 lauten:

dv = (1-v) dx integrieren

Dann lautet Zeile 5: v = x - vx + C

Danach erfolgt die Rücksubstitution.

Ich erhalte y = x / (1+x) - x   und y' = 1 / (1+x)²  - 1

Allerdings stimmt meine Probe nicht. Wo liege ich falsch?

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Mein Denkfehler: ich kann nicht 1-v nach dx integrieren. Stattdessen muss es heißen:

1/ (1-v) dv = dx

Dann erhalte ich

y = e^x - x +1

Ist das okay?

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Ja, so passt es !

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Nochmal eine kleine Korrektur (ich habe oben ein Minuszeichen vergessen):

Die Lösung lautet y = \( e^{-x} \) - x +1 bzw. y' = \( -e^{-x} \) - 1

Dann passt auch die Probe:

\( -e^{-x} \) - 1 = - x - ( \( e^{-x} \) - x +1)

So, jetzt haben wir es endlich.

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Na prima, das hast du ja quasi alleine geschafft.