Analysis: Fahrradweg f mit f(x) = 2x*e^{ax+b}. H(2|4)

Question

Der rot eingezeichnete Fahrradweg \( \mathrm{f} \) kann durch die Funktion \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{ax}+\mathrm{b}} \) beschrieben werden. Sein nördlichster Punkt ist \( \mathrm{H}(2 | 4) . \) Von Westen nach Osten, d. h. auf der x-Achse, verläuft ein Fluss. 1 Längeneinheit entspricht 100 Metern. \( y^{4} \)

a) Bestimmen Sie die Parameter a und b, und skizzieren Sie den Graphen von f für \( 0 \leq x \leq 10 \).

b) Bestimmen Sie die Ableitungen \( \mathrm{f}^{\prime} \) und \( \mathrm{f}^{\prime \prime} \). In welchem Punkt W geht der Fahrradweg von einer Rechts- in eine Linkskurve über?

c) In welchem Winkel schneidet der Fahrradweg f den Fluss?

Answer 1

f(x) = 2·x·e^{a·x + b}

f'(x) = 2·e^{a·x + b}·(a·x + 1)

Extrempunkt f'(2) = 0

(a·2 + 1) = 0
a = -0.5

Y-Koordinate f(2) = 4
2·2·e^{-0.5·2 + b} = 4
b = 1

f(x) = 2·x·e^{-0.5·x + 1}

Skizze

Schaffst du jetzt alleine weiter ?

Comments

Ehrlich gesagt Nein aber die rechnung hat mir geholfen den rehnungsweg ein bisschen zu verstehen denn f(x) = 2mal x mal e ^ -0.5mal x + 1 wurde uns von unserer Lehr.vorgegeben für die Winkelberechnung müsste ich ja im Prinzip die geradengleichung des Flusses aufstellen und da es sich um zwei 'geraden ' handelt den cos nehmen ? .... aber wie bestimme ich W wenn H gegeben ist weil ich nicht in der Gleichung sehe wie ich den bezug zum Punkt herstellen kann um zu wissen wo er liegt ...

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Für den Schnittwinkel mit der x-Achse bzw. den Fluss musst du die Steigung an der Stelle x0 = 0 bestimmen

m = f'(0) = 2·e^{-0.5·0 + 1}·(-0.5·0 + 1) = 2·e

Nun ist der Steigungswinkel aber zufällig der arctan der Steigung. Daher gilt.

α = arctan(2·e) = 79.58 Grad

Hilfreich ist es dir dazu ein Steigungsdreieck vorzustellen.