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Aufgabe 46 (Präsenzübungen):

Im \( \mathbb{R}^{3} \) ist die Fläche

\( S:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | x^{2}+y^{2}+z-4=0, z \geq 0\right\} \)

gegeben.


(a) Skizzieren Sie die Fläche \( S \).

(b) Bestimmen Sie das Volumen des durch \( S \) und die Ebene \( \{z=0\} \) eingeschlossenen Körpers \( K \)

(c) Für das Vektorfeld \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gegeben durch
$$ F(x, y, z):=\left(x z \sin (y z)+x^{3}, \cos (y z), 3 z y^{2}-e^{x^{2}+y^{2}}\right) $$

Bestimmen Sie den Ausfluss \( A(F, \partial K) \) von \( F \) durch \( \partial K \)


Ansatz:

Ich versuche gerade das Volumen auf zwei verschiedene Arten zu berechnen. Aber bei einer komme ich nicht auf das Ergebnis. Und zwar is das ganze ja ein Paraboloid. Deswegen setze ich

\( 0 \leq r \leq \sqrt{4-z} ; 0 \leq \varphi \leq 2 \pi ; 0 \leq z \leq 4 \)

wenn ich das ausrechne komme ich auf -16pi. Die Lösung sollte aber 8pi betragen. Wo ist der Fehler?

Avatar von

1 Antwort

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Witzbold^^.

Woher sollen wir wissen, wo der Fehler liegt, wenn Du uns Deinen Rechenweg verschweigst.

Richtig sind Deine Grenzen. Mögliche Fehlerquelle ist das Vergessen der Jacobi-Determinante?

$$\int_0^4\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{4-z}} 1\cdot r \; dr\; d\varphi\; dz = 8\pi$$

Integriere über 1 (da Volumen gefragt) multipliziert mit r -> Jacobi-Determinante.

Grüße
Avatar von 140 k 🚀

nein ich habe die Jacobi-Matrix nicht vergessen.

ich habe so integriert: zunächst nach r, dann nach z und dann nach phi

Dann hast Du Dich verrechnet.

Ich komme auch bei nochmaligen Nachrechnen auf 8π ;).
jap hab ich endlich ;) danke dir !!!
Hehe, Rechenfehler?


Viel Erfolg bei der Prüfung ;).

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