Bestimmtes Integral. Flächeninhalt zwischen dem Graphen f, der x-Achse und der Tangente im Punkt P(e/1).

Question

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=ln(x)

Berechne den Flächeninhalt der vom Graphen f, der x-achse und der von der Tangente im Punkt P(e/1) eingeschlossenen Fläche

Answer 1

f(x) = lnx

f ' (x) =1/x

f ' (e) = 1/e

Tangente. t: y = 1/e x + q

P(e|1) einsetzen. 1 = 1/e * e + q = 1 + q ==> q = 1

Tangente. t: y  = 1/e x
Skizze: 

Das Dreieck O(0|0), Q(e|0), P(e|1) hat die Fläche e*1/2 = e/2

Von diesem Dreieck muss jetzt noch die Fläche unter dem blauen Bogen zwischen 1 und e subtrahiert werden.

Also ∫ ln x dx von 1 bis e.

 ∫ ln x dx = x*lnx - x + C

 ∫ ln x dx = x*lnx - x |₁^e = e*ln e - e - (1*ln1 - 1) = e*1 - e - (e*ln 0 - 1) = 1

Gesuchte Fläche A = e/2 - 1 ≈ 0.35914