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Hallo Liebes Matheforum,

Elvis raucht jeden Tag eine Zigarre. Täglich führt er seinem Körper damit eine Nikotinmenge von 0.025 mg zu. Elvis hat aber gelesen, dass von dem Blut vorhandenem Nikotin im Laufe eines Tages 1,5%  abgebaut wird. "Rauchen schadet mir nicht! In meinem Körper erreichert sich nie so viel Nikotin an, dass der gefährliche Schwellenwert von 1mg überschritten wird", meint er. Was meinen Sie?
Ich bin ein bisschen am Verzweifeln und ehrlich zu sein.... Es handelt sich sicherlich um eine Wachstumsabnahme.

Hat jmd. möglicherweise eine Idee? Ich denke es hat etwas mit der Rekursion zu tun, aber bin nicht wirklich ein Mathegenie, also eher geraten.

Passender Taschenrechner mit Rekursionmenü ist vorhanden.
MFG
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gesucht ist gewissermaßen der "stationäre Zustand", das heißt die Menge Nikotin in Elvis' Blut, bei der die zugeführte Masse gleich der abgeführten Masse entspricht.

Dies ist offenbar dann der Fall, wenn \( 0,025\ mg \) dem Wert \( 1,5\ \% \) vom im Blut verhandenen Nikotin entsprechen.

Das Blut hat dann eine Gesamtmasse an Nikotin von

\( m = \frac{0,025\ mg}{1,5\ \%} = \frac{2,5}{1,5}\ mg = \frac{5}{3}\ mg \).

Dieser Wert übersteigt die angegebene Höchstbelastung von \( 1\ mg \) Nikotin.

MfG

Mister
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Erstmal danke :) ich habe aber noch eine Frage :Ist es denn auch möglich mit einer rekursiven Gleichung die Tage zu berechnen an dem elvis die 1 mg überschreitet? Mfg
Grundsätzlich ja. Die rekursive Formel lautet

\( m_{i+1} = m_i \cdot 98,5\ \% + 0,025\ mg \).

Um von der rekursiven zu einer expliziten Formel zu gelangen, ersetze ich zwecks Verallgemeinerung \( p \equiv 98,5\ \% \) und \( a \equiv 0,025\ mg \) und lasse für die Massen die Einheiten weg: \( m_{i+1} = m_i \cdot p + a \)

Probieren führt zu:

\( m_0 = 0 \)

\( m_1 = a \)

\( m_2 = pa + a \)

\( m_3 = p^2 a + pa +a\)

\( \dots \)

\( m_i = a \sum_{j=0}^{i} p^j = a \frac{1 - p^{i+1}}{1 - p} \)

Der letzte Schritt benutzt die Darstellung für eine Partialsumme der geometrischen Reihe (https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Berechnung_der_.28endlichen.29_Partialsummen_einer_geometrischen_Reihe) für \( p \neq 1 \).

Somit ist eine explizite Darstellung für die \( i \)-te Masse gefunden. Diese Darstellung kannst du nun (unter anderem mittels Logarithmieren) nach \( i \) umstellen.

PS: Eine Alternative wäre

\( m_{i+1} = (m_i + 0.025\ mg) \cdot 98,5\ \% \),

wenn Elvis die Zigarette nach und nicht vor dem Abbau von \( 1,5\ \% \) raucht. Die Gleichung für die stationäre Masse folgte dann wegen \( m_{i+1} = m_i \equiv m \) (stationärer Zustand)

\( m = (m + 0,025\ mg) \cdot 98,5\ \% \)

zu

\( m =\frac{0,025 \cdot 98,5\ \%}{1,5\ \%} = 1,641\bar{6} < \frac{5}{3} \),

was ein bisschen kleiner als \( \frac{5}{3} = 1,\bar{6} \) ist.
Zur Kontrolle: Deine finale Darstellung für \( i \) sollte so aussehen:

\( i = \frac{\log\left( - \left( \frac{m_i}{a}(1-p) - 1 \right) \right)}{\log(p)} - 1 \).

Die stationäre Masse selbst kannst du hier nicht einsetzen, da sie faktisch nie erreicht wird, sie ist nur als Grenzwert anzusehen (Probieren führt zu \( \log(1-1) = \log(0) \) im Zähler). Du kannst die Formel aber in einer \( \epsilon \)-Umgebung von \( m \) betrachten und erhältst einen Wert für \( i \):

\( i = i (\epsilon) = \frac{\log\left( - \left( \frac{m - \epsilon}{a}(1-p) - 1 \right) \right)}{\log(p)} - 1 \).

Z.B. \( i (\epsilon = 0,005) = 383,36\dots \approx 384 \), das heißt nach \( 384 \) Tagen ist Elvis' Blutmassengehalt an Nikotin näher als \( 0,005\ mg \) am Grenzwert \( \frac{5}{3} \) dran.
Das mit der Rekursion habe ich soweit verstanden, dankeschön :)

Bei dem ersten Lösungsweg bin ich aber noch ein bisschen durcheinander...
"gesucht ist gewissermaßen der "stationäre Zustand", das heißt die Menge Nikotin in Elvis' Blut, bei der die zugeführte Masse gleich der abgeführten Masse entspricht.

Dies ist offenbar dann der Fall, wenn 0,025 mg dem Wert 1,5 % vom im Blut verhandenen Nikotin entsprechen.

Das Blut hat dann eine Gesamtmasse an Nikotin von

m=0,025 mg1,5 %=2,51,5 mg=53 mg.

Dieser Wert übersteigt die angegebene Höchstbelastung von 1 mg Nikotin."

Wie kommst du genau auf diese Rechnung? Die Rekursion habe ich verstanden, aber den einfachen Weg noch nicht wirklich.


MfG
Dies ist einfache Prozentrechnung:

Wenn \( 0,025\ mg \) dem Wert \( 1,5\ \% \) entsprechen, dann entsprechen \( \frac{0,025\ mg}{0,015} = \frac{5}{3}\ mg \) dem Wert \( 100\ \% \).

PS: Das Copy and past hat bei dir offenbar nicht funktioniert, da die LaTex-Ausgaben beim Kopieren nicht adäquat in den Zwischenspeicher geladen werden (es sind ja nur LaTex-Ausgaben und kein LaTex-Quelltext).
Man kann auch von der Rekursionsformel ausgehen und fordern \( m_{i+1} = m_i \) (stationärer Zustand), was ich bei der alternativen Variante in meinem ersten Kommentar im PS bereits einmal vorgeführt habe und hier nun noch einmal für die erste Variante vorführe:

\( m = mp + a \Rightarrow m = \frac{a}{1-p} = \frac{0,025\ mg}{1 - 98,5\ \%} = \frac{0,025\ mg}{0,015} = \dots = \frac{5}{3}\ mg \).

Dies ist die mathematische Beschreibung der Formulierung "die Menge Nikotin in Elvis' Blut, bei der die zugeführte Masse gleich der abgeführten Masse entspricht", sich also die Gesamtmasse Nikotin nicht ändert (\(\Delta M = 0 \) mit \( M \) als Gesamtmasse Nikotin in Elvis' Blut).

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